Prove a propriedade distributiva da convolução f \* (g + h) = f \* g + f \* h

Passo 1

E aí cara, tudo bem?

Então ta, vamos lá

Pra começar, temos que

f * ( g + h ) = ∫ 0 t f τ . g t - τ + h t - τ d τ     ( I )

f * g + f * h = ∫ 0 t f τ . g t - τ d τ + ∫ 0 t f τ . h t - τ d τ     ( I I )

E aí queremos provar essas expressões são iguais né?

Bom, temos

f * ( g + h ) = ∫ 0 t f τ . g t - τ + h t - τ d τ

Fazendo a distributiva de multiplicação:

f * ( g + h ) = ∫ 0 t f τ . g t - τ + f τ . h t - τ d τ

A integral da soma é a soma das integrais:

f * g + h = ∫ 0 t f τ . g t - τ d τ + ∫ 0 t f τ . h t - τ d τ

Que é exatamente a expressão ( I I )

Portanto, f * g + h = f * g + f * h

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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