Enunciado

Considere a equação a v x x - b v t - c v = 0

em que a, b e c são constantes.

  1. Seja v ( x , t ) = e δ t w ( x , t ) , em que δ é constante, e encontre a equação diferencial parcial correspondente para.
  2. Se b ≠ 0 , mostre que δ pode ser escolhido de modo que a equação diferencial parcial encontrada no item (a) não tem termo em. Assim, através de uma mudança da variável dependente, é possível reduzir a Eq(i) à equação do calor.

Passo 1

Dado a EDP a u x x - b u t + c u = 0 ,

em que a, b e c são constantes, temos que u ( x , t ) = e δ t w ( x , t ) . Substituindo isso na EDP, temos:

a e δ t w x x - b ( δ e δ t w + e δ t w t ) + c e δ t w = 0

Dividindo os dois lados por e δ t , temos:

a w x x - b w t + ( c - b δ ) w = 0

Passo 2

Enquanto b ≠ 0 , sendo δ = c b , temos:

a b w x x - w t = 0

Que é a equação do calor com a variável dependente w .

Resposta

  1. a w x x - b w t + ( c - b δ ) w = 0
  2. a b w x x - w t = 0
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