Lista de Exercícios Resolvidos de Equação do Calor – Homogênea

Ver Teoria

Encontre a solução do problema de condução de calor

100 u x x = u t           0 < x < 1 ,     t > 0

u 0 , t = 0           u 1 , t = 0                       t > 0

u x , 0 = sen ⁡ ( 2 π x ) - sen ⁡ ( 5 π x )         0 ≤ x ≤ 1

Ver solução completa

Usando separação de variáveis, encontrar a solução da seguinte equação do calor. Explique detalhadamente como se resolve o problema

u t = u x x ,     0 < x < 1 ,     t > 0 u x 0 , t = 0 ,     u x 1 , t = 0 ,     t ≥ 0 u x , 0 = f x ,     0 ≤ x ≤ 1

onde f é definida como a extensão par e periódica de período P = 2 da função f x =   1   onde     0 < x < 1 e esboce o gráfico no intervalo - 1 < x < 1 .

Ver solução completa

Dado que

u n x , t = e - n 2 π 2 t / 1600 s e n π n x 40 ,     n = 1,2 , …

e solução da equação do calor

u t - u x x = 0

Determine a solução do problema de valor inicial e de contorno

u t - u x x = 0 ,     0 < x < 40 ,       t > 0 u 0 , t = u 40 , t = 0 ,     t > 0 u x , 0 = f x ,     0 < x < 40 ,     o n d e         f x = 0 ,       0 ≤ x < 10 50 ,       10 ≤ x ≤ 30 0 ,       30 < x ≤ 40

Ver solução completa

( a ) Apresente a extensão par da função

f x = 0 ,     0 ≤ x < 1 1 ,     1 ≤ x < 2 2 ,     2 ≤ x < 3

e esboce o gráfico no intervalo - 3 < x < 3 .

( b ) Encontre a série de Fourier da função acima e esboce o gráfico da série de Fourier no intervalo - 3 < x < 9 . (Sugestão: Use o Teorema de Convergência de Fourier)

( c ) Usando separação de variáveis encontrar a solução da seguinte equação do calor. Explique detalhadamente como se resolve o problema

5 u t = u x x ,     0 < x < 3 ,       t > 0 u x 0 , t = 0 ,     u x 3 , t = 0 ,     t ≥ 0 u x , 0 = f x ,     0 ≤ x ≤ 3

onde f ( x ) está definida no item ( a ) .

Ver solução completa

Resolva o seguinte problema de valor de contorno usando o método de separação de variáveis justificando cada passo detalhadamente:

10 u t = u x x ,     0 ≤ x ≤ 5 ,     t > 0 ; u 0 , t = u 5 , t = 0 ;                                       u x , 0 = 25 .                                

Ver solução completa

Responda verdadeiro (V) ou falso (F) para as seguintes questões, justificando-as:

(a) (1pt) Se y 1 ( x ) e y 2 ( x ) são soluções da EDO F y . y ' . y ' ' = 0 , então y x = c 1 y 1 x + c 2 y 2 ( x ) também o é;

(b) (1pt) As funções u n x , t = e - n 2 π 2 α 2 t / L 2 sen ⁡ n π x L   são soluções da equação de calor;

(c) (1pt) A EDO x y ' + 3 y = 6 x 3 é linear de ordem 3;

Ver solução completa

Determine a solução u ( x , t ) do problema

u t x , t = 4 u x x x , t x ∈ 0 , π , t ∈ 0 , ∞ u x 0 , t = u x π , t = 0 t ∈ 0 , ∞ u x , 0 = g x x ∈ 0 , π  

Onde

g x = 0   s e   0 ≤ x ≤ π 4 1   s e   π 4 < x ≤ 3 π 4 0   s e   3 π 4 < x ≤ π  

Ver solução completa

Resolva o seguinte problema de condução do calor usando o método de separação de variáveis justificando detalhadamente toda a análise:

u t = 6 u x x ,     0 ≤ x ≤ 4 ,     t > 0 u x 0 , t = u x 4 , t = 0 ,     t ≥ 0 u x , 0 = 3 + 6 cos ⁡ π x + 7 cos ⁡ 4 π x + cos ⁡ 17 π x 4 ,     0 ≤ x ≤ 4

Ver solução completa

Resolva o problema do fluxo do calor com fonte de calor externo dado por

∂ u ∂ t x , t = ∂ 2 u ∂ x 2 x , t + x ,   0 < x < π ,   t > 0 u 0 , t = u π , t = 0 ,     t > 0 u x , 0 = s e n x ,     0 < x < π

Dicas: A solução é dada por u x , t = v x + W x , t . Para achar v , resolva o PVI

v ' ' x = - x ,   0 ≤ x ≤ π v 0 = 0 ,   v π = 0

W x , t = ∑ n = 1 ∞ c n e - β n π L 2 t s e n n π x L ,     onde os c n são determinados pela expansão em série de Fourier dos senos de f x - v x . Use que 2 π ∫ 0 π s e n m x s e n ( n x ) d x é 1 se m = n e é 0 se m ≠ n . Use direto que ∫ 0 π x 3   s e n ( n x ) d x = 1 n 6 π - 1 n n 2 - π 3 - 1 n .

Ver solução completa

A equação seguinte modela um problema do fluxo do calor

∂ u ∂ t x , t = β ∂ 2 u ∂ x 2 x , t ,   0 < x < L ,   t > 0 u 0 , t = u L , t = 0 ,     t > 0 u x , 0 = f x ,     0 < x < L

Use a separação de variáveis u x , t = X t T t para mostrar que a solução desse problema é

u x , t = ∑ n = 1 ∞ c n e - β π x L 2 t s e n n x π L

Dica: T ' t β T t = X ' ' x X x = - λ . Estude apenas o caso λ > 0 .

Ver solução completa

Resolva o seguinte problema de condução do calor usando o método de separação de variáveis justificando detalhadamente toda a análise:

u t = 6 u x x ,     0 ≤ x ≤ 4 ,     t > 0 u x 0 , t = u x 4 , t = 0 ,     t ≥ 0 u x , 0 = 3 + 6 cos ⁡ π x + 7 cos ⁡ 4 π x + cos ⁡ 17 π x 4 ,     0 ≤ x ≤ 4

Ver solução completa

Resolva o seguinte problema de condução do calor usando o método de separação de variáveis justificando detalhadamente toda a análise:

u t = 6 u x x ,     0 ≤ x ≤ 7 ,     t > 0 u 0 , t = u 7 , t = 0 u x , 0 = x ,

Ver solução completa

Encontre a solução u ( x ,   t ) do problema de valor inicial e de contorno :

u t = 3 u x x + u ,     x ∈ 0,4 ,   t ∈ 0 , ∞ , u 0 , t = u 4 , t = 0                                                     t > 0 , u x , 0 = 1 - cos ⁡ π x 2 ,                             x ∈ [ 0,4 ]

Ver solução completa

Resolva o seguinte problema do fluxo do calor  

∂ u ∂ t x , t = 4 ∂ 2 u ∂ x 2 x , t , 0 < x < π , t > 0 u 0 , t = u π , t = 0 , t > 0 u x , 0 = f x , 0 < x < π

Onde

f x = x   ,     0 < x < π 2 1   ,     π 2 < x < π

Dica: Avalie os coeficientes da série de Fourier dos senos no caso em que n for par e n for ímpar.

Ver solução completa

Resolva o problema:

9 u x x = u t ,                 0 < x < 2 ,   t > 0 u 0 ,   t = 0 ,           u 2 ,   t = 0 ,   t > 0 u x ,   0 = f ( x ) ,     0 < x < 2

se a função f x é dada por:

f x = x ,     0 ≤ x ≤ 1 0 ,     1 ≤ x ≤ 2

Ver solução completa

Dado o problema de condução de calor de uma barra metálica,

u t = 4 u x x ,         0 < x < 1 u x 0 , t = u 1 , t = 0 ,       t > 0

  1. Use o método de separação de variáveis para encontrar a solução desse problema.
  2. Determine a distribuição de temperaturas da barra se a distribuição inicial de calor é dada por:

u x , 0 = 3 cos ⁡ 7 π x 2 + 2 cos ⁡ 3 π x 2

Ver solução completa

Use o método da separação de variáveis para resolver o seguinte problema de condução de calor em uma barra metálica:

u t = t 2 u x x ,         0 < x < 1 u 0 , t = u 1 , t = 0 ,       t > 0 u x , 0 = sen ⁡ 3 π x ,         0 < x < 1

Ver solução completa

Seja o problema de condução do calor de uma barra metálica,

u t = 3 u x x ,         0 < x < 1 u x 0 , t = u 1 , t = 0 ,       t > 0

  1. Encontre as soluções do problema de valores de contorno associado, problema de Sturm-Liouville. Justifique
  2. Encontre um conjunto de soluções do problema dado e formule a solução geral
  3. Qual será a temperatura em cada ponto da barra se tiver uma distribuição inicial de calor dada por:

u x , 0 = 3 cos ⁡ 7 π x 2 + 2 cos ⁡ 3 π x 2

Ver solução completa

Dada a seguinte equação do calor:

u t = k u x x ,     0 < x < L ,     t > 0 u 0 , t = 0 ,     u L , t = 0 u x , 0 = f x

  1. O método de seperação de variáveis supõe que a solução da equação do calor é u x , t = X x T t . Usando esse método mostre como se chega ao sistema abaixo onde λ é a constante de separação. Analise os casos λ = 0 , λ < 0 e λ > 0 .
  2. X ' ' + λ X = 0 T ' + k λ T = 0 X ' 0 = X ' L = 0

  3. Substituindo os valores L = 6 , k = 4 e f x = x 5 escolha a extensão par ou ímpar de período 2 L que resolve o problema em (a) encontrando a solução u x , t . Especifique os coeficientes dessa solução SEM calcular a integral.

Ver solução completa

Dada a seguinte equação do calor:

u t = k u x x ,     0 < x < L ,     t > 0 u x 0 , t = 0 ,     u x L , t = 0 u x , 0 = f x

  1. O método de seperação de variáveis supõe que a solução da equação do calor é u x , t = X x T t . Usando esse método mostre como se chega ao sistema abaixo onde λ é a constante de separação. Analise os casos λ = 0 , λ < 0 e λ > 0 .
  2. X ' ' + λ X = 0 T ' + k λ T = 0 X ' 0 = X ' L = 0

  3. Substituindo os valores L = 3 , k = 4 e f x = x 5 escolha a extensão par ou ímpar de período 2 L que resolve o problema em (a) encontrando a solução u x , t . Especifique os coeficientes dessa solução SEM calcular a integral.

Ver solução completa

Use o método de separação de variáveis para resolver o seguinte problema de condução de calor em barra metálica:

( 1 + 3 t 2 ) u x x   =   u t ,     0   ≤   x   <   1 ,   t > 0 u 0 ,   t =   0 , u 1 ,   t =   0 ,     t > 0 u x ,   0 = 1 2   s e n 3 π x ,     0   ≤   x   ≤   1

Ver solução completa

Resolva o seguinte problema de valor de contorno usando o método de separação de variáveis justificando detalhadamente TODA a análise

9 u x x   =   u t ,     0   ≤   x   <   4 ,   t > 0 u 0 ,   t = u 4 ,   t =   0 ,     t > 0 u x ,   0 =   5 s e n 3 π x 4 + 8 s e n 2 π x ,     0   ≤   x   ≤   4

Ver solução completa

  1. Apresente num gráfico a extensão ímpar e periódica de período 4 da função
  2. f x =   1 ,     0 ≤ x < 1   0 ,     1 ≤ x < 2    

  3. Encontre a série de Fourier.
  4. Usando o método de separação de variáveis, encontrar a solução da seguinte equação de calor. Explique detalhadamente como se resolve o problema.

u x x   =   u t ,     0   ≤   x   <   2 ,   t > 0 u 0 ,   t =   0 , u 2 ,   t =   0 ,     t > 0 u x ,   0 = f ( x ) ,     0   ≤   x   ≤   1

Onde f ( x ) é a função descrita no item (a).

Ver solução completa

a )

i . Determine a extensão ímpar periódica de período P = 10 da função f x = x para 0 < x < 5 esboçando o gráfico no intervalo - 15,15

i i . Encontre a série de Fourier de senos da extensão ímpar periódica da função f x = x para 0 < x < 5

b ) Resolva o seguinte problema de valor de contorno usando o método de separação de variáveis justificando cada passo detalhadamente:

10 u t = u x x ,     0 ≤ x ≤ 5 ,     t > 0 ; u 0 , t = u 5 , t = 0 ;                                       u x , 0 = x .                                

Ver solução completa

Encontre a solução u : 0,4 × 0 , + ∞ → R do seguinte problema

u x x - u t = u ,     x , t ∈ 0,4 × 0 , + ∞ u 0 , t = 0 ,       u x 4 , t = 0 ,     t > 0 u x , 0 = f x ,     x ∈ 0,4

Onde f : 0,4 →   R é a função

f x = x     s e   0 ≤ x < 2 0   s e   2 ≤ x < 4

Ver solução completa

Use o método da separação de variáveis para resolver o seguinte problema de condução de calor em uma barra metálica:

4 t 2 u x x = u t ,     0 < x < 1 , t > 0 u 0 , t = u 1 , t = 0 ,     t > 0 u x , 0 = sen ⁡ 3 π x ,     0 ≤ x ≤ 1 .

Ver solução completa

Considere a função periódica de período 4 , que no intervalo - 2,2 é definida por

f x = 2 2 + x ,     - 2 ≤ x < 0 , 2 2 - x ,     0 ≤ x ≤ 2 .

  1. Determine os coeficientes de Fourier de f .
  2. Use o teorema de Fourier para calcular a soma da série,
  3. ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 2

  4. Resolva o problema de condução de calor: 4 u x x = u t ,     0 ≤ x ≤ 2 ,     t > 0 u x 0 , t = 0 ,     u x 2 , t = 0 ,     t ≥ 0 u x , 0 = f x ,     0 ≤ x ≤ 2 .

Ver solução completa

Questão 4: Utilize o método de Separação de Variáveis para encontrar a solução do problema

u t - u x x = 0                                                                                       e m               0 ,   1 × 0 ,   + ∞   u 0 ,   t = u 1 ,   t = 0                                                         p a r a       t ∈ 0 ,   + ∞                   u x ,   0 = s e n ( 2 π x ) - s e n ( 5 π x )                 p a r a       x ∈ 0 ,   1                          

Ver solução completa

Questão 4: Considere a EDP do calor, sendo u = u x ,   t :

u t = u x x ,                                                   0 < x < 1 ,   t > 0 u 0 ,   t = u 1 ,   t = 0 ,                                                   t ≥ 0 u x ,   0 = f x ,                                                           0 ≤ x ≤ 1

Onde f está descrita no item a a seguir:

  1. Mostre a função f , como sendo a extensão ímpar e periódica de período L = 2 da função g x = 1 , que está definida em 0 < x < 1 e esboce seu gráfico no interior de - 1 < x < 1 , usando o fato de que f x = f x + L , com L = 2 ∀ x ∈ R .
  2. Calcule a série de Fourier da função f dada no item a .
  3. Usando os resultados dos itens a e b , calcule (mostrando os detalhes) a EDP do problema acima usando o método de separação de variáveis.

Ver solução completa

Questão 2: Resolva o problema de condução de calor em uma barra metálica:

25 u x x = u t ,                 0 < x < 5 ,   t > 0 u 0 ,   t = 0 ,           u 5 ,   t = 0 ,   t > 0 u x ,   0 = 2 - x ,     0 < x < 5

Ver solução completa

Questão 2: Considere uma barra uniforme de comprimento 10 para a qual a = 1 a uma temperatura inicial dada por u x ,   0 = 3 ⋅ sin ⁡ π x / 10   ,     0 ≤ x ≤ 10 , com as extremidades mantidas a temperatura 0 . Determine a distribuição de temperaturas u x ,   t da barra.

Ver solução completa

( a ) Apresente a extensão par e periódica de período P = 2 da função f x =   1   onde     0 < x < 1 e esboce o gráfico no intervalo - 1 < x < 1 .

( b )   Encontre a série de Fourier da função acima.

( c )   Usando separação de variáveis, encontrar a solução da seguinte equação do calor. Explique detalhadamente como se resolve o problema

u t = u x x ,     0 < x < 1 ,     t > 0 u x 0 , t = 0 ,     u x 1 , t = 0 ,     t ≥ 0 u x , 0 = f x ,     0 ≤ x ≤ 1

onde f é a função definida no item ( a ) .

Ver solução completa

( b ) Dado que

u n x , t = e - n 2 π 2 t / 1600 s e n π n x 40 ,     n = 1,2 , …

e solução da equação do calor

u t - u x x = 0

Determine a solução do problema de valor inicial e de contorno

u t - u x x = 0 ,     0 < x < 40 ,       t > 0 u 0 , t = u 40 , t = 0 ,     t > 0 u x , 0 = f x ,     0 < x < 40 ,     o n d e         f x = 0 ,       0 ≤ x < 10 50 ,       10 ≤ x ≤ 30 0 ,       30 < x ≤ 40

Ver solução completa

Resolva o seguinte problema de valor de contorno usando o método de separação de variáveis justificando detalhadamente toda a análise:

0 ≤ x ≤ 3 ,       t > 0 u t = 5 u x x         u 0 , t = u 3 , t = 0 u x , 0 = - 2 sen ⁡ 2 π x + 4 sen ⁡ ( 3 π x )

Ver solução completa

Encontre a solução u x , t   do problema

5   u x x = u t     0 < x < 1 ,     t > 0 u 0 , t = 0 ,   u 1 , t = 0 ,     t > 0 u x , 0 = s e n 2 π x - s e n 7 π x ,       0 ≤ x ≤ 1

Ver solução completa