Lista de Exercícios Resolvidos de Equação do Calor – Homogênea
Encontre a solução do problema de condução de calor
Ver solução completaUsando separação de variáveis, encontrar a solução da seguinte equação do calor. Explique detalhadamente como se resolve o problema
onde é definida como a extensão par e periódica de período da função onde e esboce o gráfico no intervalo .
Ver solução completaDado que
e solução da equação do calor
Determine a solução do problema de valor inicial e de contorno
Ver solução completaApresente a extensão par da função
e esboce o gráfico no intervalo .
Encontre a série de Fourier da função acima e esboce o gráfico da série de Fourier no intervalo . (Sugestão: Use o Teorema de Convergência de Fourier)
Usando separação de variáveis encontrar a solução da seguinte equação do calor. Explique detalhadamente como se resolve o problema
onde está definida no item .
Ver solução completaResolva o seguinte problema de valor de contorno usando o método de separação de variáveis justificando cada passo detalhadamente:
Ver solução completaResponda verdadeiro (V) ou falso (F) para as seguintes questões, justificando-as:
(a) (1pt) Se e são soluções da EDO , então também o é;
(b) (1pt) As funções são soluções da equação de calor;
(c) (1pt) A EDO é linear de ordem 3;
Ver solução completaResolva o seguinte problema de condução do calor usando o método de separação de variáveis justificando detalhadamente toda a análise:
Ver solução completaResolva o problema do fluxo do calor com fonte de calor externo dado por
Dicas: A solução é dada por . Para achar , resolva o PVI
Já onde os são determinados pela expansão em série de Fourier dos senos de . Use que é se e é se . Use direto que .
Ver solução completaA equação seguinte modela um problema do fluxo do calor
Use a separação de variáveis para mostrar que a solução desse problema é
Dica: . Estude apenas o caso .
Ver solução completaResolva o seguinte problema de condução do calor usando o método de separação de variáveis justificando detalhadamente toda a análise:
Ver solução completaResolva o seguinte problema de condução do calor usando o método de separação de variáveis justificando detalhadamente toda a análise:
Ver solução completaEncontre a solução do problema de valor inicial e de contorno :
Ver solução completaResolva o seguinte problema do fluxo do calor
Onde
Dica: Avalie os coeficientes da série de Fourier dos senos no caso em que for par e for ímpar.
Ver solução completaDado o problema de condução de calor de uma barra metálica,
- Use o método de separação de variáveis para encontrar a solução desse problema.
- Determine a distribuição de temperaturas da barra se a distribuição inicial de calor é dada por:
Use o método da separação de variáveis para resolver o seguinte problema de condução de calor em uma barra metálica:
Ver solução completaSeja o problema de condução do calor de uma barra metálica,
- Encontre as soluções do problema de valores de contorno associado, problema de Sturm-Liouville. Justifique
- Encontre um conjunto de soluções do problema dado e formule a solução geral
- Qual será a temperatura em cada ponto da barra se tiver uma distribuição inicial de calor dada por:
Dada a seguinte equação do calor:
- O método de seperação de variáveis supõe que a solução da equação do calor é . Usando esse método mostre como se chega ao sistema abaixo onde é a constante de separação. Analise os casos , e .
- Substituindo os valores , e escolha a extensão par ou ímpar de período que resolve o problema em (a) encontrando a solução . Especifique os coeficientes dessa solução SEM calcular a integral.
Dada a seguinte equação do calor:
- O método de seperação de variáveis supõe que a solução da equação do calor é . Usando esse método mostre como se chega ao sistema abaixo onde é a constante de separação. Analise os casos , e .
- Substituindo os valores , e escolha a extensão par ou ímpar de período que resolve o problema em (a) encontrando a solução . Especifique os coeficientes dessa solução SEM calcular a integral.
Use o método de separação de variáveis para resolver o seguinte problema de condução de calor em barra metálica:
Ver solução completaResolva o seguinte problema de valor de contorno usando o método de separação de variáveis justificando detalhadamente TODA a análise
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- Apresente num gráfico a extensão ímpar e periódica de período da função
- Encontre a série de Fourier.
- Usando o método de separação de variáveis, encontrar a solução da seguinte equação de calor. Explique detalhadamente como se resolve o problema.
Onde é a função descrita no item (a).
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Determine a extensão ímpar periódica de período da função para esboçando o gráfico no intervalo
Encontre a série de Fourier de senos da extensão ímpar periódica da função para
Resolva o seguinte problema de valor de contorno usando o método de separação de variáveis justificando cada passo detalhadamente:
Ver solução completaUse o método da separação de variáveis para resolver o seguinte problema de condução de calor em uma barra metálica:
Ver solução completaConsidere a função periódica de período , que no intervalo é definida por
- Determine os coeficientes de Fourier de .
- Use o teorema de Fourier para calcular a soma da série,
- Resolva o problema de condução de calor:
Questão 4: Utilize o método de Separação de Variáveis para encontrar a solução do problema
Ver solução completaQuestão 4: Considere a EDP do calor, sendo :
Onde está descrita no item a seguir:
- Mostre a função , como sendo a extensão ímpar e periódica de período da função , que está definida em e esboce seu gráfico no interior de , usando o fato de que , com .
- Calcule a série de Fourier da função dada no item .
- Usando os resultados dos itens e , calcule (mostrando os detalhes) a EDP do problema acima usando o método de separação de variáveis.
Questão 2: Resolva o problema de condução de calor em uma barra metálica:
Ver solução completaQuestão 2: Considere uma barra uniforme de comprimento para a qual a uma temperatura inicial dada por , com as extremidades mantidas a temperatura . Determine a distribuição de temperaturas da barra.
Ver solução completaApresente a extensão par e periódica de período da função onde e esboce o gráfico no intervalo .
Encontre a série de Fourier da função acima.
Usando separação de variáveis, encontrar a solução da seguinte equação do calor. Explique detalhadamente como se resolve o problema
onde é a função definida no item .
Ver solução completaDado que
e solução da equação do calor
Determine a solução do problema de valor inicial e de contorno
Ver solução completaResolva o seguinte problema de valor de contorno usando o método de separação de variáveis justificando detalhadamente toda a análise:
Ver solução completaEncontre a solução do problema
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