Enunciado

Vamos considerar agora um problema de autovalores de ordem mais alta. A análise das vibrações transversas de uma barra elástica uniforme se baseia na equação diferencial

λ 4 - λ y = 0 ,

em que y é o deslocamento transversal e   λ   =   m ω 2 / E I ; m é a massa por unidade de comprimento da barra, E é o módulo de Young,   I   é o momento de inércia da seção reta em relação a um eixo perpendicular ao plano de vibração que contém o centroide, e ω é a frequência de vibração. Então, para uma barra cujas propriedades materiais e geométricas são dadas, os autovalores determinam as frequências naturais de vibração. As condições de contorno em cada extremidade são, em geral, de um dos seguintes tipos:

y   =   y '   =   0 ,   e x t r e m i d a d e   p r e s a ,

y   =   y ' '   =   0 ,   e x t r e m i d a d e   a p o i a d a   o u   c o m   d o b r a d i ç a ,

y ' '   =   y ' ' '   =   0 ,   e x t r e m i d a d e   l i v r e .

Para cada um dos três casos a seguir, encontre a forma das autofunções e a equação satisfeita pelos autovalores desse problema de valores de contorno de quarta ordem. Determine   λ 1 e λ 2 , os dois autovalores de menor módulo. Suponha que os autovalores são reais e positivos.

c )   y ( 0 )   =   y ' ( 0 )   =   0 ,   y ' ' ( L )   =   y ' ' ' ( L )   =   0

Passo 1

Poxa, a primeira coisa a se fazer aqui, certamente é encontrar o protótipo de soluções da EDO:

λ 4 - λ y = 0

Usando a equação característica:

r 4 - λ = 0

Resolvendo essa equação...

r = λ 1 / 4

As raízes dessa equação podem então ser determinadas usando Euler para a representação dos números complexos:

λ = λ e 2 π m

Ou...

λ 1 / 4 = λ 1 / 4 e π m 2

Fazendo m variar de 0 a 3 , vamos determinar todas as raízes dessa equação que serão:

λ 1 = λ 4   ,                     λ 2 = - λ 4   ,                     λ 3 = λ 4 i                   e                     λ 4 = - λ 4 i

Dado duas raízes reais e duas complexas conjugadas, a solução da EDO será:

y = c 1 e λ 4 t + c 2 e - λ 4 t + c 3 sin ⁡ λ 4 t + c 4 cos ⁡ λ 4 t

Onde c 1 , c 2 , c 3 e c 4 são constantes a determinar através das condições iniciais .

Passo 2

Vamos começar trabalhando com as duas condições referentes ao ponto inicial:

y ( 0 )   =   y ' ( 0 )   =   0

Trabalhando inicialmente com a condição sobre a função...

y = c 1 e λ 4 t + c 2 e - λ 4 t + c 3 sin ⁡ λ 4 t + c 4 cos ⁡ λ 4 t

y 0 = c 1 e 0 + c 2 e 0 + c 3 sin ⁡ 0 + c 4 cos ⁡ 0   →

0 = c 1 + c 2 + c 4             ( I )

Para a segunda condição, entretanto, dependemos da derivada primeira:

y ' = c 1 λ 4 e λ 4 t - λ 4 c 2 e - λ 4 t + λ 4 c 3 cos ⁡ λ 4 t - λ 4 c 4 sin ⁡ λ 4 t

y ' 0 = c 1 λ 4 e 0 - λ 4 c 2 e 0 + λ 4 c 3 cos ⁡ 0 - λ 4 c 4 sin ⁡ 0

0 = c 1 λ 4 - λ 4 c 2 + λ 4 c 3             ( I I )

Comparando as equações I e I I , chegaremos a:

c 2 = 0

c 1 = c 4

Passo 3

Beleza, então chegou o momento de aplicar as duas últimas condições:

y ' ' ( L )   =   y ' ' ' ( L )   =   0

Encontrando então a segunda derivada sabendo já que c 2 = 0 através da primeira derivada (basta derivar de novo, néh):

y ' = c 1 λ 4 e λ 4 t + λ 4 c 3 cos ⁡ λ 4 t - λ 4 c 4 sin ⁡ λ 4 t       →

y ' ' = c 1 λ 4 λ 4 e λ 4 t - λ 4 λ 4 c 3 sin ⁡ λ 4 t - λ 4 λ 4 c 4 cos ⁡ λ 4 t

Como λ 4 λ 4 = λ ...

y ' ' = c 1 λ e λ 4 t - λ c 3 sin ⁡ λ 4 t - λ c 4 cos ⁡ λ 4 t

Agora aplicando a terceira condição, ou seja: y ' ' L = 0 ...

y ' ' L = c 4 λ e λ 4 L - λ c 3 sin ⁡ λ 4 L - λ c 4 cos ⁡ λ 4 L →

0 = c 4 λ e λ 4 L - λ c 3 sin ⁡ λ 4 L - λ c 4 cos ⁡ λ 4 L                       I I I

Para a terceira condição... y ' ' ' L = 0 precisamos calcular a terceira derivada:

y ' ' ' = c 4 λ 4 λ e λ 4 t - λ 4 λ c 3 cos ⁡ λ 4 t + λ 4 λ c 4 sin ⁡ λ 4 t

y ' ' ' L = c 4 λ 4 λ e λ 4 L - λ 4 λ c 3 cos ⁡ λ 4 L + λ 4 λ c 4 sin ⁡ λ 4 L

0 = c 4 λ 4 λ e λ 4 L - λ 4 λ c 3 cos ⁡ λ 4 L + λ 4 λ c 4 sin ⁡ λ 4 L                   I V

SHOW! Multiplicando a equação I I I por - λ 4 , e somando a equação I V , o termo contendo a exponencial desaparece:

λ 4 λ c 3 sin ⁡ λ 4 L + λ 4 λ c 4 cos ⁡ λ 4 L - λ 4 λ c 3 cos ⁡ λ 4 L + λ 4 λ c 4 sin ⁡ λ 4 L = 0     →

λ 4 λ c 3 sin ⁡ λ 4 L - cos ⁡ λ 4 L + λ 4 λ c 4 cos ⁡ λ 4 L + sin ⁡ λ 4 L = 0

Perceba que c 4 e c 3 não podem ser simultaneamente diferentes de 0 , pois se não, quem tem que ser 0 são os termos dos parênteses:

sin ⁡ λ 4 L - cos ⁡ λ 4 L = 0

cos ⁡ λ 4 L + sin ⁡ λ 4 L = 0

Perceba que a única solução para essas duas equações é se tanto o seno quanto o cosseno forem simultaneamente iguais a 0 :

sin ⁡ λ 4 L = 0

cos ⁡ λ 4 L = 0

Isso pode acontecer? Não neh?! Não existe nenhuma valor de ângulo que 0 ao mesmo tempo o seno e cosseno. Então c 3 ou c 4 devem ser iguais a 0 . Quem devemos considerar?

Ora, sabemos que c 4 é igual a c 1 e c 1 é o termo da exponencial c 1 e λ 4 t , essa exponencial explode quando t vai para o infinito. Como é de se supor que a vibração de uma estrutura não exploda (isso seria um problema kkk), é de se esperar que c 1 seja 0 , logo c 4 = 0 o que nos resta:

λ 4 λ c 3 sin ⁡ λ 4 L - cos ⁡ λ 4 L = 0

Pra essa equação ser 0 e o c 3 não ser (se não não tem graça, pois todas as constantes c ’s serão zero):

sin ⁡ λ 4 L - cos ⁡ λ 4 L = 0   →

Dividindo todo mundo por cosseno...

tan ⁡ λ 4 L = 1

Pra isso ser verdade, basta que o ângulo seja 45 ° ou 45 ° + 180 ° n ...

λ 4 L = π 4 + n π   →

λ n = π 4 L + n π L 4

Essa é a função que determina os autovalores pedidos. A autofunção então será...

y = c 1 e λ 4 t + c 2 e - λ 4 t + c 3 sin ⁡ λ 4 t + c 4 cos ⁡ λ 4 t     →

Como só o seno sobrou sem a constante ser 0 ...

y n = sin ⁡ λ 4 t =

sin ⁡ π 4 L + n π L t

Os dois primeiros λ ’s serão...

λ 1 = π 4 L + π L 4                 e               λ 2 = π 4 L + 2 π L 4

Resposta

λ n = π 4 L + n π L 4

y n = sin ⁡ π 4 L + n π L t

λ 1 = π 4 L + π L 4                 e               λ 2 = π 4 L + 2 π L 4

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