Enunciado

Considere a equação diferencial

d y d x = 1 + y ²

Determine uma região do plano x y tal que a equação tenha uma única solução passando por um ponto ( x 0 , y 0 ) da região.

Passo 1

Aqui vamos usar o teorema 2.1 do seu livro, belezinha?

Então vamos lá, temos que determinar uma região no plano x y no qual a equação d y d x = 1 + y ²

tem solução única passando por um ponto x 0 , y 0

Seguindo o teorema 2.1, vamos chamar

f x , y = 1 + y 2

E, nesse caso:

∂ f ∂ y = 2 y

Que é contínua em todo o plano, pois é definida para todos os valores

Então, pelo teorema 2.1, temos que a equação diferencial d y d x = 1 + y ²

Vai ter solução única em todo o plano

Resposta

E m   t o d o   o   p l a n o

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26. c . Mostre que y2 é solução da equação linear completa (1). Veremos mais tarde (por exemplo, na Seção 3.5) que soluções de equações lineares de ordem mais alta têm um padrão semelhante ao da Eq. (
26. a. (a) Mostre que a solução (7) da equação linear geral (1) pode ser colocada na forma y = c y 1 t + y 2 em que c é uma constante arbitrária
26. b. Mostre que y1 é uma solução da equação diferencial y ' + p t y = 0 correspondente a g(t) = 0