Enunciado

Considere a equação

y ' ' - 3 y ' + 4 y = 2 e - t

Lembre-se de que y 1 t = e - t e y 2 t = e 4 t são soluções da equação homogênea associada. Adaptando o método de redução de ordem (Seção 3.4), busque uma solução da equação não homogênea da forma Y ( t )   =   υ ( t ) y 1 t   =   υ t e - t , em que υ ( t ) é uma função a ser determinada.

(a) Substitua Y ( t ) ,   Y ' ( t )   e   Y ″ ( t ) na Eq. (i) e mostre que υ ( t ) deve satisfazer υ ″   –   5 υ '   =   2 .

(b) Seja w ( t )   =   υ ' ( t ) e mostre que w ( t )   tem que satisfazer w '   –   5 w   =   2 . Resolva esta equação 30. 31. 32. 33. 34. para w ( t ) .

(c) Integre w ( t )   para encontrar υ ( t ) e depois mostre que

Y t = - 2 5 t e - t + 1 5 c 1 e 4 t + c 2 e - t

A primeira parcela é a solução particular desejada da equação não homogênea. Note que é um produto de t e de e - t .

Passo 1

(a ) O problema pede para substituir valores na equação dada para satisfazer as condições.Substitua Y ( t ) ,   Y ' ( t )   e   Y ' ' ( t ) na Eq (i) e mostre que v ( t ) deve satisfazer   υ ″   –   5 υ '   =   2 .

Mostramos Y ( t ) e as derivadas. Y ( t )   =   v ( t ) y 1   =   v t e - t Y   ' ( t )   =   v ' t e - t     - v   t e -   t Y   (t) = v t e -   t - v ' t e -   t - v ' t e -   t + v t e - t Simplificando: Y   (t)=v t e -   t - 2 v ' t e -   t + v t e -   t Agora, substituindo aqueles na equação original:(por uma questão de conveniência, v   " = v " ( t )   e assim por diante) ( v   e - t - 2 v ' e - t + v e - t ) - 3 ( v e - t - v e - t ) - 4 ( v e - t ) = 2 e - t

Multiplicando ambos os lados por e t   . v   " - 2 v   ' +   v - 3 v '   +   3 v - 4 v   =   2 Simplificando: v " - 5 v   ' =   2 Assim, mostramos que a equação foi satisfeita.

Passo 2

(b) Seja w ( t ) = v ' ( t ) : Mostre que w ( t ) satisfaz w ' - 5 w = 2 . Resolva isso para w t .

Se w = v ' então v " = w ' , assim :

w ' - 5 w = v " - 5 v ' = 2 .

Adicionando 5 w   para ambos os lados w ' = 5 w + 2 Assim como equações da seção 1.2 e 1.3: y   ' =   a y - b    

y =   b a + c e a t Portanto, temos nossa solução assim: w ' = 5 w - ( - 2 ) Onde a = 5 b = - 2   .Coloque isso na fórmula para obter: w   =   ( -   2 / 5 ) + c 1 e 5 t Onde c 1 é uma constante (NÃO   c 1 * ).

Passo 3

(c )Integrar w ( t ) para encontrar v ( t ) e mostrar que: Y ( t ) = - 2 5 t e - t + 1 5 c 1 e 4 t + c 2 e - t

Portanto, integramos w :Como w tem uma constante mais uma função, podemos integrá-los separadamente: ∫ - 2 5 +   c 1 e 5 t d t Teremos:

∫ - 2 5 d t + ∫   c 1 e 5 t d t Obtemos: -   2 5 t + 1 5 c 1 e 5 t + c 2 Assim: v   =   -   2 5 t + 1 5 c 1 e 5 t + c 2 Agora precisamos mostrar que: Y ( t ) = - 2 5 t e - t   + 1 5 c 1 e 4 t   + c 2 e - t Então: Y ( t ) = v ( t ) * e - t Multiplicando e - t ,   que nos dá: Y   ( t ) = - 2 5 t e - t + 1 5 c 1 e 4 t   +   c 2 e - t

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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