Enunciado

Considere a equação y ' ' - y ' - 2 y = 0 .

  1. Mostre que y 1 t = e - t e y 2 t = e 2 t formam um conjunto fundamental de soluções.
  2. Sejam y 3 t = - 2 e 2 t , y 4 t = y 1 t + 2 y 2 t e y 5 t = 2 y 1 t - 2 y 3 t . As funções y 3 t ,   y 4 t   e   y 5 t também são soluções da equação diferencial dada?
  3. Determine se cada par a seguir forma um conjunto fundamental de soluções: [ y 1 t ,   y 3 t ] ; y 2 t , y 3 t ; y 1 t ,   y 4 t ; y 4 t ; y 5 t .

Passo 1

Para resolvermos, vamos analisar cada possível solução e após isso calcularemos o Wronskiano para verificar se as soluções constituem um conjunto fundamental de soluções.

Passo 2

  1. Para verificar se constituem um conjunto fundamental de soluções, vamos calcular o Wronskiano e se ele der diferente de zero o conjunto sera um fundamental.
  2. W e - t , e 2 t = f 1 t f 2 t f 1 ' t f 2 ' t = e - t e 2 t - e - t 2 ⋅ e 2 t )

    Calculando agora o determinante dessa matriz, temos que

    e - t ⋅ 2 ⋅ e 2 t + e 2 t ⋅ e - t = 3 ⋅ e - t ⋅ e 2 t

    Que não é zero para o intervalo dado, assim temos que o Wronskiano da nossa equação é W = 3 ⋅ e - t ⋅ e 2 t e as soluções formam um conjunto fundamental.

    Passo 3

  3. Bom, temos que todas as outras soluções são combinações lineares de uma equação geral, onde
  4. y = c 1 ⋅ y 1 + c 2 ⋅ y 2

    Logo, todas as soluções que sejam combinações lineares das soluções que formam um conjunto fundamental também serão soluções da nossa equação diferencial.

    Passo 4

  5. Bom, vamos lá novamente calcular os Wronskianos da nossa equação. Para o primeiro conjunto, temos que:

W e - t , - 2 e 2 t ,   = f 1 t f 2 t f 1 ' t f 2 ' t = e - t - 2 e 2 t ,   - e - t - 4 ⋅ e 2 t )

Calculando agora o determinante dessa matriz, temos que

e - t ⋅ - 4 ⋅ e 2 t - 2 ⋅ e 2 t ⋅ e - t = - 6 ⋅ e - t ⋅ e 2 t

Que não é zero, assim temos que o Wronskiano da nossa equação é W = - 6 ⋅ e - t ⋅ e 2 t e as soluções formam um conjunto fundamental.

Para o segundo conjunto, temos que:

W e 2 t , - 2 e 2 t ,   = f 1 t f 2 t f 1 ' t f 2 ' t = e 2 t - 2 e 2 t ,   2 ⋅ e - t - 4 ⋅ e 2 t )

Calculando agora o determinante dessa matriz, temos que

e 2 t ⋅ - 4 ⋅ e 2 t + 4 ⋅ e 2 t ⋅ e - t = 0

Que é zero, assim temos que o Wronskiano da nossa equação é W = 0 e as soluções não formam um conjunto fundamental.

Se fizermos o exato mesmo processo para os dois últimos conjuntos, vamos chegar que o terceiro conjunto será um conjunto fundamental de soluções e que o último conjunto não será um conjunto fundamental de soluções.

Resposta

  1. Formam um conjunto de soluções.
  2. Sim, são soluções.
  3. Conjunto 1 e 3 são fundamentais e os conjuntos 2 e 4 não são.
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