Enunciado

Uma massa de 100 g estica uma mola de 5   c m . Se a massa for colocada em movimento a partir de sua posição de equilíbrio com uma velocidade apontando para baixo de 10   c m / s , e se não houver amortecimento, determine a posição s da massa em qualquer instante t . Quando a massa retorna pela primeira vez à sua posição de equilíbrio?

Passo 1

Vamos inicialmente fazer algumas considerações físicas do nosso problema para formula-lo matematicamente, ok?

Temos uma massa de 0,1 k g (unidade no SI) suspensa por uma mola de tamanho de 5   c m = 0,05 m (unidade no SI), que chamamos de posição de repouso.

Vamos supor olhar para a nossa massa, quando ela ta passando pela posição de equilíbrio, seguindo para baixo com uma velocidade de 10 c m / s . Neste instante dizemos que é nosso marco zero de medida, ou seja, t = 0 neste momento.

Equacionando nosso problema, temos

F = m a

Segunda Lei de Newton

No caso de molas, que são consideradas formas restauradoras, temos que

F =   - k s

Onde k é a contantes da mola, e s é sua posição em relação à posição de repouso.

Desta forma ficamos com

m a = m s ' ' = - k s

Nossa equação diferencial.

Já resolvemos anteriormente problemas assim, mas a seção também aborda essa equação diferencial e nos da como solução

s = A cos ⁡ ω 0 t + B   s e n   ω 0 t

Onde

ω 0 2 = k / m

Chamada de frequência natural.

Qualquer duvida com relação a isso, olhar as Eq. (12) e (13).

Pela Eq.(15), vemos que a Eq.(12) pode ser escrita como

s = R cos ⁡ ( ω 0 t - δ )

Que é exatamente o que queremos escrever.

Passo 2

Vamos lá!!!

Como acabamos de dizer, queremos escrever

s = A cos ⁡ ω 0 t + B   s e n   ω 0 t

Então, se derivarmos em função do tempo, temos que

s ' = ω 0 B cos ⁡ ω 0 t - A   s e n   ω 0 t

E como o problema sugere, temos que no instante em t = 0

A cos ⁡ ( ω 0 ⋅ 0 ) + B   s e n   ω 0 ⋅ 0 = 0 ω 0 B cos ⁡ ( ω 0 ⋅ 0 ) - A   s e n   ( ω 0 ⋅ 0 ) = - 10

Ou seja

A = 0 e B =   - 10 / ω 0

Enquanto

ω 0 = k m = - g x 0 = - - 980 c m s 2 5   c m = 14 1 s

Assim

B =   - 10 14 = - 5 7

Desta forma temos nossa função s dada por

s = - 5 7 s e n   14 t

O sinal negativo aparece porque adotamos a orientação da nossa velocidade inicial para baixo como negativa.

Passo 3

Agora queremos saber quando a massa passa pela posição de equilíbrio pela primeira vez após começar o seu movimento, ou seja, quando s = 0 e t ≠ 0

s =   - 5 7   s e n   14 t = 0

Que só é possível quando

s e n   14 t = 0

Que implica necessáricamente em

14 t = π

Ou seja

t = T = π / 14

Resposta

s = - 5 7 s e n   14 t

T = π / 14

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Uma massa pesando 2l b (cerca de 900 g ) estica uma mola de 6i n (polegadas; 6i n ≈ 15c m ).Se a massa é puxada 3i n adicionais para baixo e depois é solta, e se não há amortecimento determine a posiç
Uma massa pesando 3l b( ≈ 1,36 k g ) estica uma mola de 3i n≈ 7,6c m . Se a massa for empurrada pra cima, contraindo a mola de 1i n , e depois for colocada em movimento com uma velocidade para baixo d
Mostre que o período do movimento de uma vibração não amortecida de uma massa pendurada em uma mola vertical é 2 π L / g , em que L é o alogamento da mola devido à massa, e g é a aceleração da gravida
A posição de um determinado sistema mola-massa satisfaz o problema de valor inicial 3 2 s ' ' + k s = 0 , s 0 = 2 , s ' 0 = v Se for observado que o período e a amplitude do movimento resultante são π
Na ausência de amortecimento, o movimento de um sistema mola-massa satifez o problema de valor inicial m s ' ' + k s = 0 ,s 0 = a ,s ' 0 = b (a) Mostre que a energia cinética dada inicialmente à massa