Enunciado

Considere a família de funções y = x 1 n , em que n é um inteiro não nulo. Encontre o domínio natural dessas funções se n for

(a) Positivo e par

(b) Negativo e par

(c) Positivo e ímpar

(d) Negativo e ímpar

Passo 1

Nós temos essa família de funções:

y = x 1 n = x n

Então, se n for par, por exemplo 2 :

y = x

E aí teremos uma restrição no domínio, já que não podemos ter x < 0 dentro da raiz. Logo, o domínio será:

[ 0 , + ∞ )

E isso acontece para todo n par.

Sendo n ímpar, por exemplo 3 :

y = x 3

E como todo número real tem raiz cúbica, não teremos restrições no domínio, sendo assim, ele será:

( - ∞ , + ∞ )

E isso acontece para todo n ímpar.

Ok? Vamos usar esse raciocínio para analisar cada alternativa.

Passo 2

(a) Positivo e par. Nesse caso, n > 0 e é par também.

Como vimos no passo anterior, n sendo par já restringe o domínio para apenas x ≥ 0 . E ele sendo positivo? Isso só quer dizer que teremos a função no estilo:

y = x 1 n = x n

Obs.: Se fosse negativo, seria algo assim:

y = x - 1 n = 1 x n

Bom, e como já analisamos y = x n com n par antes, o domínio será:

[ 0 , + ∞ )

Passo 3

(b) Negativo e par. Nesse caso, n < 0 e é par também.

Como vimos no passo 1, n sendo par já restringe o domínio para apenas x ≥ 0 . E ele sendo negativo? Vimos no passo anterior que será algo do tipo:

y = x - 1 n = 1 x n

Agora, temos a restrição do n par e uma restrição pela divisão por 0 , que não queremos também! Para ocorrer uma divisão por 0 , x n = 0 e isso só acontece quando x = 0 , logo ele também será retirado do nosso domínio!

Dessa forma, o domínio será:

( 0 , + ∞ )

Passo 4

(c) Positivo e ímpar. Nesse caso, n > 0 e é ímpar também.

Como vimos no passo 1, com n sendo ímpar não teremos restrições ainda, pois o domínio ainda é ( - ∞ , + ∞ ) . E ele sendo positivo? Vimos no passo 2 que será algo do tipo:

y = x 1 n = x n

Bom, já vimos que esse tipo de função também não tem restrições! Já analisamos ela no passo 1 e vimos que o domínio será:

( - ∞ , + ∞ )

Passo 5

(d) Negativo e ímpar. Nesse caso, n < 0 e é ímpar também.

Como vimos no passo 1, com n sendo ímpar não teremos restrições ainda, pois o domínio ainda é ( - ∞ , + ∞ ) . E ele sendo negativo? Vimos no passo anterior que será algo do tipo:

y = x - 1 n = 1 x n

Bom, já vimos que esse tipo de função tem restrição de que não podemos ter uma divisão por 0 ! E isso acontece quando x = 0 . Como essa é a nossa única restrição, o domínio será:

( - ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , + ∞ )

Ou seja, qualquer número, exceto o 0 .

Resposta

(a) [ 0 , + ∞ )

(b) ( 0 , + ∞ )

(c) ( - ∞ , + ∞ )

(d) ( - ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , + ∞ )

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