Enunciado

8. Demonstre que, se f e g são funções ímpares, então f × g e f / g são pares

Passo 1

Inicialmente vamos relembrar o que são funções ímpares:

Uma função é ímpar se:

f x = - f ( - x )

Passo 2

O enunciado nos diz que f ( x ) e g ( x ) são ímpares, então:

f x = - f ( - x )

g x = - g ( - x )

Agora temos que provar f ( x ) × g ( x ) é uma função par

h x = f x × g x

Mudaremos o sinal de ambas :

h - x = f - x × g - x

Porém f - x = - f ( x ) e g - x = - g ( x ) . Substituindo acima, temos:

h - x = f - x × g - x = - f ( x ) × - g ( x )

Se multiplicarmos dois termos negativo teremos um termo positivo!

- f ( x ) × - g ( x ) = f x × g x

h - x = h ( x )

Essa expressão define uma função ímpar, portanto f x × g ( x ) é par!

Passo 3

Agora temos que demonstrar a segunda expressão, que é:

f x / g ( x )

Chamaremos do mesmo h ( x ) utilizado antes

h x = f x / g ( x )

Trocando x de sinal temos:

h - x = f - x / g ( - x )

Porém f - x = - f ( x ) e g - x = - g ( x ) . Substituindo acima, temos:

h - x = - f x / - g ( x ) .)

h - x = g x / f ( x )

Porém você se lembra o que era     f x / g x ?

Era o h ( x ) . Voltando para a expressão, vamos ter:

h - x = h x

O que define uma função par, logo f x / g ( x ) também é par.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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