Enunciado

Considere o fluxo de calor em um cilindro de comprimento infinito e raio 1: 0 ≤ r

e as seguintes condições inicial e de contorno:

Mostre que em que J0(λn) = 0. Encontre uma fórmula para cn.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para analisarmos as deformações verticais de uma barra em suas condições de contorno. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser analisar a equação dada.

α 2 u r r + 1 r u r = u t

Para a função, temos que:

u r , t = ∑ c n J 0 λ 0 r e - α 2 λ n t

  r 2 R ' ' + r R ' + λ r ² R = 0

R r = b 1 J 0 λ 0 r + b 2 Y 0 λ 0 r

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!

u r , 0 = ∑ c n J 0 λ 0 r  

c n = ∫ r ( f r J 0 λ 0 r d x ∫ r J 0 2 λ 0 r d x

Resposta

c n = ∫ r ( f r J 0 λ 0 r d x ∫ r J 0 2 λ 0 r d x

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Encontre a temperatura no estado estacionário u(ρ, φ) na esfera de raio unitário se a temperatura for independente de θ e satisfizer a condição de contorno:
Encontre a temperatura no estado estacionário em uma barra semi-infinita 0