Lista de Exercícios Resolvidos de Modelagem com Equação do Calor

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Considere uma barra de alumínio com 20 cm de comprimento, inicialmente a uma temperatura uniforme 25 o C . Suponha que, no instante t = 0 , a extremidade x = 0 é esfriada a 0 o C , enquanto a extremidade x = 20 é aquecida a 60 o C e ambas são mantidas, daí para frente, a essas temperaturas.

Encontre a distribuição de temperatura na barra em qualquer instante t .

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Considere uma barra uniforme de comprimento L a uma temperatura inicial dada por u x , 0 = sen ⁡ π x L , 0 ≤ x ≤ L . Suponha que ambas as extremidades estão isoladas. Considerando α = 1 , encontre a temperatura u ( x , t ) dessa barra.

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Considere uma barra uniforme de comprimento L , com distribuição inicial de temperatura f ( x ) , 0 ≤ x ≤ L . Suponha que a temperatura na extremidade x = 0 é mantida a 0 o C , enquanto a extremidade x = L está isolada, de modo que não há fluxo de calor através dela.

Encontre uma expansão em série para a temperatura u ( x , t ) da barra em função de f ( x ) .

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Considere a condução de calor em uma barra de 1 m de comprimento com constante de difusividade térmica α 2 = 1 . Considere que a barra está apoiada sobre o eixo x de modo a ocupar o intervalo [ 0,1 ] . Suponha que a barra esteja termicamente isolada, inclusive nas extremidades, e que a temperatura inicial da barra seja dada pela função f x = s e n ( 2 π x ) , 0 ≤ x ≤ 1 . Encontre a temperatura u ( x , t ) que satisfaz as condições do problema, usando a expressão geral da solução do calor para uma barra isolada.

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Considere a condução de calor em uma barra de 40 cm de comprimento, cujas extremidades, esquerda e direita são mantidas, respectivamente, a 0 o C e a 80 o C para t > 0 . Suponha que inicialmente a temperatura ao longo da barra seja 50 o C. Considere α 2 = 1 .

  1. Determine a temperatura de estado estacionário
  2. Determine a expressão da temperatura u ( x , t ) para t ≥ 0 .

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Considere a condução de calor em uma barra homogênea de comprimento igual a 50   m e coeficiente de difusividade térmica igual a 1 , cuja superfície lateral está isolada e que só troca calor com o ambiente através de suas extremidades. Suponha ainda que esteja inicialmente a uma temperatura de 25 0 C e que a temperatura dos extremos da barra seja mantida constante igual a 100 o C para todo t > 0 . Determine a temperatura u ( x , t ) sabendo que tal problema é modelado por

u t = u x x u 0 , t = 100 = u 50 , t ,       t > 0 u x , 0 = 25 ,         0 < x < 50

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