Enunciado

Em coordenadas esféricas ρ, θ e φ (ρ > 0, 0 ≤ θ

a equação de Laplace fica:

Mostre que, se u(ρ, θ, φ) é independente de θ, então a primeira equação no item (a) permanece inalterada, a segunda é omitida e a terceira fica.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para analisarmos as deformações verticais de uma barra em suas condições de contorno. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser analisar a equação dada.

ρ u ρ ρ + 2 ρ u ρ + csc 2 ⁡ ϕ u θ θ + u ϕ ϕ = 0

Para a função, temos que:

ρ ²   P ' ' + 2 ρ P ' - μ 2 P = 0  

Θ ' ' + λ 2 Θ = 0

sin 2 ⁡ ϕ Φ ' ' + sin ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ Φ ' + μ 2 sin 2 ⁡ ϕ - λ 2 Φ = 0

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!

Pela condição de reciprocidade, vamos chegar a:

sin 2 ⁡ ϕ Φ ' ' + sin ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ Φ ' + μ 2 sin 2 ⁡ ϕ Φ = 0

Resposta

sin 2 ⁡ ϕ Φ ' ' + sin ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ Φ ' + μ 2 sin 2 ⁡ ϕ Φ = 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em coordenadas esféricas ρ, θ e φ (ρ0, 0 ≤ θ a equação de Laplace fica:Mostre que, se definirmos uma nova variável independente por s = cos φ, então a equação para Φ no item (b) fica
Em coordenadas cilíndricas r, θ e z definidas por a equação de Laplace ficaMostre que, se u(r, θ, z) é independente de θ, então a primeira equação no item (a) fica a segunda é totalmente omitida, e a
A equaçãoé uma generalização da equação de Laplace, algumas vezes denominada equação de Helmholtz.Em coordenadas polares, a equação de Helmholtz ficaSe υ(r, θ) = R(r)Θ(θ), mostre que R e Θ satisfazem
Em coordenadas esféricas ρ, θ e φ (ρ0, 0 ≤ θ a equação de Laplace fica:Mostre que, se u(ρ, θ, φ) = P(ρ)Θ(θ)Φ(φ), então P, Θ e Φ satisfazem equações diferenciais ordinárias da forma.A primeira dessas e