Enunciado

Considere a função p definida por:

p ( t )   =   t ,   0 ≤ t < 1 ,

2 - t ,   1 ≤ t < 2 ;

p ( t + 2 ) = p ( t )

  1. Esboce o gráfico de y = p(t).
  2. Encontre ℒ { p ( t ) } , notando que p é a extensão periódica da função h no Problema 39(c) e
  3. usando, depois, o resultado do Problema 34.

  4. Encontre ℒ { p ( t ) } , observando que

p ( t )   = ∫ 0 t f ( t ) d t

em que f é a função no Problema 36, e usando, depois, o Teorema 6.2.1.

Passo 1

Na letra a, o gráfico será:

Passo 2

Na letra b, como p (t) é periódico, podemos usar a fórmula derivada no Problema 34 para determinar sua transformada de Laplace. O período aqui é T=2.

ℒ { p ( t ) } = ∫ 0 T e - s t p ( t ) d t 1 - e - s T = ∫ 0 1 e - s t ( t ) d t   +   ∫ 1 2 e - s t ( 2 - t )   d t 1 - e - 2 s

Resolvendo essas duas integrais, teremos:

ℒ { p ( t ) }   =   1 - e - s s 2 ( 1 + e - s )

Passo 3

Agora, na letra c temos a seguinte função:

p ( t )   =   ∫ 0 t f ( t )   d t

Diferencie os dois lados em relação a t.

d p d t = f ( t )

Faça a transformação de Laplace de ambos os lados.

ℒ { d p d t } = ℒ { f ( t ) }

Use o fato de que a derivada se transforma como ℒ { p ' ( t ) } = s ℒ { p ' ( t ) } - p ( 0 )

Então: s ℒ { p ( t ) } - p ( 0 ) = ℒ { f ( t ) }

E chegamos em:

ℒ { p ( t ) } = ℒ { f ( t ) } + p ( 0 ) s

Passo 4

Foi encontrado no Problema 36 que:

ℒ { f ( t ) } = 1 - e - s s ( 1 + e - s )

Portanto, como p (0) = 0,

ℒ { p ( t ) } = 1 - e - s s ( 1 + e - s ) + 0 s = 1 - e - s s ² ( 1 + e - s )

Resposta

  1. ℒ { p ( t ) }   =   1 - e - s s 2 ( 1 + e - s )
  2. ℒ { p ( t ) } = 1 - e - s s ² ( 1 + e - s )
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