1.

Resolva

y ' ' + 4 y = f t ; y 0 = 0 , y ' 0 = 0 f t = 0 s e 0 < t < π 4 s e π ≤ t < 3 π 0 s e t ≥ 3 π

Resolução
2.

Encontre a solução do problema de valor inicial dado

y ' ' + 4 y = 2 δ t - π / 4

y 0 = 0

y ' 0 = 0

Resolução
3.

Considere a função

g t = sen ⁡ ( t ) ,         0 ≤ t < π 0 ,                                         t > π

Resolva o Problema de Valor Inicial (PVI)

y ' ' + 4 y = g t + δ ( t - π / 2 ) y 0 = y ' 0 = 0                                              

Justifique sua resposta.

Resolução
4.

Encontre a solução da EDO y ' ' - y = 3 u 1 t - u 2 t   ; y 0 = 1 ,   y ' 0 = 0

Resolução
5.

Utilize a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial

y "   +   2 y '   +   3 y   =   e t +   δ ( t - 1 ) e 2 t ,  

y ( 0 ) = 0 ,   y ' ( 0 ) = 1 ,

onde δ t - 1 é a “função” delta de Dirac com singularidade em 1.

Resolução
6.

Seja

f t = 0 ,       t ≤ π t ,       t > π

  1. Calcule a transformada de Laplace de f .
  2. Resolva o seguinte problema de valor inicial:

y ' ' + y = f ( t ) y 0 = y ' 0 = 0

Resolução
7.

Considere a função

g t = sen ⁡ ( t ) ,         0 ≤ t < π 0 ,                                         t > π

Resolva o Problema de Valor Inicial (PVI)

y ' ' + 4 y = g t + δ ( t - π / 2 ) y 0 = y ' 0 = 0                                              

Justifique sua resposta.

Resolução
8.

Consideramos uma mola elástica fixada por uma de suas extremidades e que possa vibrar na vertical. Suponhamos que um corpo de massa m = 1 quilograma esteja preso à extremidade inferior da mola, que a constante elástica da mola seja k = 1 e que no instante t = 0 o sistema esteja submetido a uma força periódica f t = s e n ( 2 t ) . No instante t = 1 , o sistema massa-mola recebe por baixo um golpe brusco que comunida instantaneamente 5 unidades de momento ao sistema. Usando a segunda lei de Newton e o eixo y convenientemente posicionado, somos levados à seguinte equação do movimento y ( t )

d 2 y d t 2 + y = s e n 2 t + 5 δ ( t - 1 )

Supondo as condições iniciais y 0 = y ' 0 = 0 , determine o movimento do sistema.

Resolução
9.

Resolva utilizando Transformada de Laplace

y ' ' + 2 y ' + 2 y = g ( t ) y 0 = 1 ,     y ' 0 = 0

Sendo g ( t ) a função dada por

g t = 1 - t ,         s e     0 ≤ t ≤ 1 0 ,     s e   t > 1

Resolução
10.

Resolver o problema de valores iniciais:

y ' ' t + 4 y t = g ( t ) y 0 = y ' 0 = 0              

g t = 0       s e       0 ≤ t < 3 2         s e       3 ≤ t < 5 0         s e       t > 5                  

Resolução
11.

Seja L a Transformada de Laplace e L - 1 a transformada inversa.

  1. Calcule L - 1 e - 5 s s s 2 + s + 1 .
  2. Resolva o seguinte problema de valores iniciais:

I I y ' ' t + y ' t + y t = δ t - 3 + u 5 ( t ) y ' 0 = y 0 = 0

Resolução
12.

Seja g : 0 , + ∞ → R a função definida por

g t = cos ⁡ 2 t s e 0 ≤ t < 2 π cos ⁡ 2 t + sen ⁡ t s e t ≥ 2 π

Resolva o seguinte problema de valor inicial

y ' ' + 4 y = g t y 0 = 0 ,     y ' 0 = 0

Resolução
13.

Encontre a solução do problema de valor inicial

y ' ' + 4 y = g ( t ) y 0 = 2 ,     y ' 0 = 1

Onde g : 0 , + ∞ → R a função

g t = t ,       s e   0 ≤ t < 1 1 ,       s e   t ≥ 1                

Resolução
14.

Resolva por transformadas de Laplace o seguinte PVI:

y ' ' + y = u π 2 t + 3 δ t - 3 π 2

y 0 =   y ' 0 = 0

Resolução
15.
  1. Escreva g t utilizando funções degrau e calcule a sua transforma de Laplace, L g t
  2. g t = 0 0 ≤ t < 1 1 - t 1 ≤ t < 2 - 1 2 ≤ t

  3. Encontre a solução y t da seguinte p.v.i. utilizando o método de transformadas de Laplace:

y ' ' + 4 y = g t

Onde y 0 = 0 e y ' 0 = 0 e g t é dada no item a

Resolução
16.

Use transformadas de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:

y ' ' + y = 4 δ t - 2 π , y 0 = 1 ,       y ' 0 = 0

Resolução
17.

Questão 2: Considere a equação diferencial de segunda ordem. Homogênea,

y ' ' - 2 y ' + 5 y = 0

B - Encontre a solução do problema de valor inicial,

y ' ' - 2 y ' + 5 y = 2 δ t - π ,     y 0 = y ' 0 = 0

Resolução
18.

Resolva o problema de valor inicial

y ' ' + y = g t ,     y ' 0 = 0 ,     y 0 = 0

Aqui, g t é uma função descontínua definida como: g t = 1 ,     s e   t > 1 0 ,     s e   t < 1

Dicas: Para achar L - 1 , use a identidade 1 s s 2 + 1 = 1 s - s s 2 + 1 , lembre o que é L cos ⁡ b t s e use que f t - a u t - a = L - 1 e - a s L f t s .

Resolução
19.

Resolva o problema de valor inicial

y ' ' - 3 y ' + 2 y = g t y 0 = 0 ,   y ' 0 = 0

Onde g : [ 0 , + ∞ [ → R é a função definida por

g t = 6 e t   s e   0 ≤ t ≤ 1 0   s e   t > 1

Resolução
20.

Resolva o problema de valor inicial

y ' ' - 4 y ' + 3 y = g t y 0 = 0 ,   y ' 0 = 0

Onde g : [ 0 , + ∞ [ → R é a função definida por

g t = 4 e t   s e   0 ≤ t ≤ 2 0   s e   t > 2

Resolução
21.

Resolva o problema de valor inicial:

y ' ' + 2 y ' + 2 y = sen ⁡ t + δ t - π 2 y 0 = 1 ,     y ' 0 = 0

Resolução
22.

Resolve o seguinte problema por transformada de Laplace

y ' ' + 4 y = sen ⁡ t - u 2 π t sen ⁡ t - 2 π ,     y 0 = 0 ,     y ' 0 = 0

Resolução
23.

Considere a equação diferencial de segunda ordem, homogênea,

y ' ' - 2 y ' + 5 y = 0

Encontre a solução do problema de valor inicial,

y ' ' - 2 y ' + 5 y = 2 e t δ t - π ,   y 0 = y ' 0 = 0 .

Resolução
24.

Resolva o seguinte problema de valor inicial por Transformadas de Laplace. Indique sempre a propriedade da tabela de transformadas de Laplace sendo utilizada em cada passo.

y ' ' + y = 10 δ t - 4 ;                     y 0 = 3 ,     y ' 0 = 7

Resolução
25.

Resolva o seguinte problema de valor inicial por Transformadas de Laplace. Indique sempre a propriedade da tabela de transformadas de Laplace sendo utilizada em cada passo.

y ' ' + 4 y ' + 13 y = δ t - 10 ;                     y 0 = 2 ,     y ' 0 = 2

Resolução
26.

Resolva o problema de valor inicial

y "   +   2 y '   +   2 y   =   c o s ⁡ ( t ) u π ( t ) , y 0 = 1 ,   y ' 0 = - 1

Onde u π ( t ) é a função de degrau unitário com t = π

Resolução
27.

Resolva pelo método de Laplace o problema de valor inicial com condições iniciais nulas

y "   +   y   = 0 ,     0 < t < 5 1 ,     t > 5

Resolução
28.

Resolva o problema de valor inicial com condições iniciais nulas

y "   + y   =   δ ( t )

Onde δ é a função delta de Dirac. Obtenha soluções usando transformadas de Laplace.

Resolução
29.

Resolva o problema de valor inicial

y "   +   4 y '   +   5 y   =   δ ( t - π )   y 0 = 2 ,   y ' 0 = 0

Resolução
30.

Resolva o problema de valor inicial

y "   +   4 y '   +   5 y   =   δ ( t - π )   +   δ ( t - 2 π ) , y 0 = 0 ,   y ' 0 = 2

Resolução
31.

Encontre a solução do problema de valor inicial dado

y ' ' + 2 y ' + y = δ t - δ t - 2

y 0 = 2

y ' 0 = 2

Resolução
32.

( a ) Utilizando a transformada de Laplace, resolva o P V I dado por y = y ( t ) :

d 2 y d t 2 + 4 y = 0 ,     t < 1 1 - t 2 ,     1 ≤ t

E condições iniciais y 0 = 0 e y ' 0 = 1 , sendo y ' = d y d t .

Resolução
33.

Resolve o problema de valor inicial:

y ' ' + 4 y = 4 u π t - 2 δ 2 π t

y 0 = y ' 0 = 0

Resolução
34.

Dada a equação diferencial de segunda ordem y ' ' + y = 0 ,

(c) Resolva o problema de valor inicial

y ' ' + y = u π t ,     y 0 = y ' 0 = 1 .

Resolução
35.

Utilize a transformada de Laplace para determinar a solução do seguinte problema de valor inicial:

y ' ' + 4 y = x ,   0 ≤ x < 1 , 0 ,   1 ≤ x < ∞ ,

y 0 = y ' 0 = 0

Resolução
36.

Utilizando a transformada de Laplace, resolva o PVI

y ' ' + 4 y = u 3 t

y 0 = 0

y ' 0 = 1

Resolução
37.

Questão 4: Utilize a transformada de Laplace para determinar a solução do problema

y ' ' + 2 y ' + 5 y = u π sin ⁡ x + δ π x cos ⁡ x   y 0 = 0 ,   y ' 0 = 1

Onde u π x é a função degrau unitário com singularidade em π e δ π x é a função delta de Dirac com singularidade em π .

Resolução
38.

Questão 3: Resolva o problema de valor inicial:

y ' ' + 4 y ' + 13 y = δ π t + δ 3 π t ,       y 0 = 1       e         y ' 0 = 0

Resolução
39.

(2,5 pts) Resolva o PVI

y ' ' + y ' + 5 4 y = 1 - u π t ,       y 0 = 1 ,     y ' 0 = - 1 .

Resolução
40.

Questão 3: Resolva o problema de valor inicial:

y ' ' + 4 y ' + 13 y = t δ π t + δ 3 π t ,       y 0 = 1 ,   y ' 0 = 0

Resolução
41.

Questão 2:

Encontre a solução geral da seguinte equação para y :

y ' ' + 2 y ' + 5 y = 52 cos ⁡ 3 t + 12 δ t - 2 π

Na dependência com o tempo t > 0 . Dica Opcional: Use o princípio de superposição e a transformação de Laplace.

Resolução
42.

Resolva* por transformada de Laplace o seguinte P.V.I.:

y ' ' + 2 y ' + 2 y = t δ π t + u 4 t y 0 = 1           e           y ' 0 = - 1

*Fórmula que pode ser útil:

∫ e a t sen ⁡ b t   d t = e a t a sen ⁡ b t - b cos ⁡ b t a 2 + b 2 .

Resolução
43.

Resolva o problema de valor inicial simbólico dado

y ' ' + y = δ t - 2 π ,     y ' 0 = 0 ,     y 0 = 0

Dicas: Para achar L - 1 , lembre que f t - a u t - a = L - 1 e - a s L f t s .

Resolução
44.

Resolva o problema de valor inicial

y ' ' - 4 y ' + 5 y = g ( t ) y 0 = 0 ,     y ' 0 = 0

onde

g t = 0 ,   s e     0 ≤ t ≤ 3 7 ,           s e   t > 3

Resolução
45.

Resolva por transformada de Laplace o seguinte PVI:

y ' ' + 2 y ' + 2 y = 2 δ ( t - π )

Onde y 0 = 0 e y ' 0 = 2

Resolução
46.

Resolva o PVI:

y ' ' + 4 y ' + 4 y = δ t - 1 ;         y 0 = 2   e   y ' 0 = - 3

usando transformada de Laplace.

Resolução
47.

Resolva por transformada de Laplace o seguinte PVI:

y ' ' + 2 y ' + 2 y = 2 δ t - π

onde y 0 = 0 e y ' 0 = 2 .

Resolução
48.

( b ) Seja F s = L { t 5 g ( t ) } (a transformada de Laplace da função h t = t 5 g ( t ) ) onde

g t = 0 ,     s e   0 ≤ t < π cos ⁡ t ,     s e   t ≥ π

Mostre que

F s = d 5 d s 5 s e - π s s 2 + 1

(Não precisa calcular essa derivada. Note que cos ⁡ t = - cos ⁡ t - π . )

( c ) Calcule a solução do PVI

- 2 y ' + y = g ( t ) y 0 = 0

Em termos de uma convolução, onde g ( t ) é a função definida no item ( b ) .

Sugestão: não calcule L { g } . Faça as contas escrevendo G = L { g } .

Resolução
49.

Resolva por transformada de Laplace o seguinte PVI:

y ' ' + 2 y ' + 5 y = 2 δ t - π

Onde y 0 = 1 e y ' 0 = 0 .

Resolução
50.

Use transformadas de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:

y ' ' + 16 y = g t , y 0 = 0 y ' 0 = 1

Onde g t é nula exceto em [ 0 , π ) , onde vale cos ⁡ 4 t .

Resolução

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