Enunciado

Suponha que f satisfaz f(t + T) = f(t) para todo t ≥ 0 e para algum número positivo fixo T; f é

dita periódica com período T em 0 ≤ t . Mostre que

ℒ { f ( t ) } = ∫ 0 T e - s t f ( t ) d t 1 - e - s T

Passo 1

A transformada de Laplace de uma função f (t) é definida como

F ( s )   =   ℒ { f ( t ) } = ∫ 0 ∞ e - s t f ( t ) d t

Passo 2

Como f é periódico ao longo de um intervalo de T, divida a integral sobre múltiplos de T:

F ( s ) = ∫ 0 T e - s t f ( t ) d t   + ∫ T 2 T e - s t f ( t )   d t + ∫ 2 T 3 T e - s t f ( t )   d t   +   . . . .

Como f é periódico, f (t) = f (t + mT) para qualquer número inteiro m.

F ( s ) = ∫ 0 T e - s t f ( t ) d t   + ∫ T 2 T e - s t f ( t - T )   d t + ∫ 2 T 3 T e - s t f ( t - 2 T )   d t   +   . . . = ∑ n = 0 ∞   ∫ n T ( n + 1 ) T e - s t f ( t - n T ) d t

Passo 3

Faça a substituição x=t-nT. Então dx=dt.

F ( s ) = ∑ n = 0 ∞ ∫ 0 T e - s ( x + n T ) f ( x ) d x = ( 1 1 - e - s T ) ∫ 0 T e - s x f ( x )   d x

Portanto, substituindo a variável de integração x por t,

ℒ { f ( t ) } = ∫ 0 T e - s t f ( t ) d t 1 - e - s T

Resposta

ℒ { f ( t ) } = ∫ 0 T e - s t f ( t ) d t 1 - e - s T

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