Enunciado

5. Considere a função z = x (del f)/(del x) (2 x , x^2) . Verifique que

(del z)/(del x) = (del f)/(del x) (2 x , x^3) + x [2 (del^2 f)/(del y del x) (2 x , x^2) + 3 x^2 (del^2 f)/(del x^2) (2 x , x^2)] .

Passo 1

Vamos calcular a derivada usando a Regra do Produto e a Regra da Cadeia

(d z)/(d x) = (del f)/(del x) + x ((del)/(del y) ((del f)/(del x)) (d ( 2 x ))/(d x) + (del)/(del x) ((del f)/(del x)) (d ( x^3 ))/(d x))

Como (d (2 x))/(d x) = 2 e (d (x^3))/(d x) = 3 x^2

Substituindo

(d z)/(d x) = (del f)/(del x) + x ((del)/(del y) ((del f)/(del x)) ( 2 ) + (del)/(del x) ((del f)/(del x)) ( 3 x^2 ))

Arrumando

(d z)/(d x) = (del f)/(del x) + x (2 (del^2 f)/(del y del x) ((del f)/(del x)) + 3 x^2 (del^2)/(del x^2) ((del f)/(del x)) 3 x^2)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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2. Expresse g ' ' ( t ) em termos de derivadas parciais de f , sendo g t = f ( 5 t , 4 t )
3. Considere a função g t = f a + h t , b + k t , com a ,b ,h e k constantes.a) Supondo f ( x , y ) de classe C 2 num aberto deR 2 , verifique que g ' ' t = h 2 ∂ 2 f ∂ x 2 x , y + 2 h k ∂ 2 f ∂ x∂ y
4. Considere a função h x , y = f x 2 + y 2 , x 2 - y 2 , onde f ( u , v ) é suposta de classe C 2 . Verifique que ∂ 2 h ∂ x 2 = 2 ∂ f ∂ u u , v + ∂ f ∂ v u , v + 4 x 2 ∂ 2 f ∂ u 2 u , v + 2 ∂ 2 f ∂ u
1. Expresse g ' ( t ) em termos de derivadas parciais de f , sendo g dada porc) g t = ∂ f ∂ x t 2 , 2 t + 5 ∂ f ∂ y ( s e n3 t ,t ) .
10. Suponha que f ( x , y ) satisfaça a equação ∂ 2 f ∂ x 2 = ∂ 2 f ∂ t 2. (i)a) Verifique que g u , v = f x , t , onde x = u + v e t = u - v satisfaz a equação ∂ 2 g ∂ v∂ u = 0 . b) Detetermine uma c