1.

Sejam z = z x , y , z de classe C 2 em R 2 , x = e u cos ⁡ v e y = e u sen ⁡ v .

Suponha que

∂ 2 z ∂ x 2 + ∂ 2 z ∂ y 2 = 0

Calcule

∂ 2 z ∂ u 2 + ∂ 2 z ∂ v 2

Resolução
2.

Seja f x , y uma função com derivadas parciais f x x . f y y , f x y = f y x contínuas. Sejam

x u , v = ln ⁡ 1 + u 2 + v 2

y u , v = e u + v sen ⁡ u v

E

g u , v = f x u , v , y u , v

Assuma que

f ln ⁡ 2 , 0 = 1 ,       f x ln ⁡ 2 , 0 = 2 ,       f y ln ⁡ 2 , 0 = e - 1

Sabendo que

f x x ln ⁡ 2 , 0 = a ,       f x y ln ⁡ 2 , 0 = b ,       f y y ln ⁡ 2 , 0 = c

Calcule g v v 0,1 em função de a , b e c .

Resolução
3.

Seja h uma função de duas variáveis com derivadas se segunda ordem contínuas. Se z = h x , y , em que x = r 2 + s 2 e y = 2 r s , determine δ 2 z δ s δ r .

Resolução
4.

Seja g u , v = f u + v , u v , f de classe C 2 em R 2 , x = u + v , y = u v . Calcule

∂ g ∂ u 1,1   e ∂ 2 g ∂ u ∂ v 1,1

Sabendo que f x 2,1 = 3 , f y 2,1 = - 3 f x x 2,1 = 0 , f x y 2,1 = f y x 2,1 = 1 , f y y 2,1 = 2

Resolução
5.

Considere a função

z = ∂ f ∂ x ( x , sen ⁡ 3 x )

Verifique que

∂ z ∂ x = ∂ 2 f ∂ x 2 x , sen ⁡ 3 x + 3 cos ⁡ 3 x . ∂ 2 f ∂ y ∂ x ( x , sen ⁡ 3 x )

Resolução
6.

Seja f   : R 2 → R 2 de classe C 2 em R 2 , tal que

f t 2 + t , t + 1 = t 2 + 2 t + 1

Para todo t ∈ R .

Sabendo-se que

∂ 2 f ∂ x 2 2,2 = ∂ 2 f ∂ x ∂ y 2,2 = 1

E

∂ 2 f ∂ y 2 2,2 = 2

Calcule ∂ f ∂ x ( 2,2 ) .

Resolução
7.

Seja h uma função de duas variáveis com derivadas se segunda ordem contínuas. Se z = h x , y , em que x = r 2 + s 2 e y = 2 r s , determine δ 2 z δ r δ s .

Resolução
8.

Seja f : R 2 → R ,   f = f x , y uma função de classe C 2 e seja

g u , t = f u 2 - t 2 ,   2 u t .

Calcule as derivadas parciais ∂ g ∂ u ,   ∂ g ∂ t , ∂ 2 g ∂ u 2   e   ∂ 2 g ∂ t 2 em termos das derivadas parciais de f e determine o valor de r > 0 para que a igualdade

∂ 2 g ∂ u 2 u , t + ∂ 2 g ∂ t 2 u , t = 48 ∂ 2 f ∂ x 2 u 2 - t 2 ,   2 u t + ∂ 2 f ∂ y 2 u 2 - t 2 ,   2 u t

seja válida para todo u , t ∈ R 2 com u 2 + t 2 = r 2 .

Observação: Deixe os cálculos de TODAS as derivadas parciais na prova.

Resolução
9.

A distribuição de temperatura de um disco com centro na origem é dada por T ( x , y ) , T de classe C ² em R 2 . Sabe-se que

∂ 2 T ∂ y ∂ x x , y = 0

∂ T ∂ y x , y = 2

Calcule ∂ 2 U ∂ θ ² ρ , θ , sendo

U ρ , θ = T ρ cos ⁡ θ ,   ρ sen ⁡ θ

Resolução
10.

Seja g u , v = f u + v , u v , f de classe C 2 em R 2 , x = u + v , y = u v . Calcule

∂ g ∂ u 1,1   e ∂ 2 g ∂ u ∂ v 1,1

Sabendo que f x 2,1 = 3 , f y 2,1 = - 3 f x x 2,1 = 0 , f x y 2,1 = f y x 2,1 = 1 , f y y 2,1 = 2

Resolução
11.

Sejam z = z x , y , z de classe C 2 em R 2 ,

x = e u cos ⁡ v

y = e u sen ⁡ v

Suponha que

∂ 2 z ∂ x 2 + ∂ 2 z ∂ y 2 = 0

Calcule

∂ 2 z ∂ u 2 + ∂ 2 z ∂ v 2

Resolução
12.

Suponha que f ∈ C ² em R 2 , c ≠ 0 , c constante e f ( x , t ) satisfaz a equação

∂ 2 f ∂ t 2 = c 2 ∂ 2 f ∂ x 2

Determine constantes m , n , p e q para que g u , v = f ( x , t ) , onde

x = m u + n v     ,     m n ≠ 0

t = p u + q v     ,       p q ≠ 0

Satisfaça a equação

∂ 2 g ∂ u ∂ v = 0

Resolução
13.

Seja u : X ⊂ R 2 → R uma função de duas variáveis definida por :

u x , t = f x + λ t + g x - λ t

Onde λ ∈ R é uma constante. Suponha que as funções f , g possuam todas as derivadas de segunda ordem contínuas. Mostre que:

u t t = λ 2 u x x , ou seja, ∂ 2 u ∂ t 2 = λ 2 ∂ 2 u ∂ x 2

Sugestão: Considere w = x + λ t e v = x - λ t

Resolução
14.

Mostre que qualquer função da forma

z = f x + a t + g ( x - a t )

É solução da equação de onda

∂ 2 z ∂ t 2 = a 2 ∂ 2 z ∂ x 2

Resolução
15.

Seja f :   R 2 → R , f = f x ,   y uma função de classe C 2 . Considere g :   R 2 → R dada por

g u ,   v = u   f u 2 + v 2 ,   u v

Sabendo que ∂ f ∂ x 2 ,   - 1 = 2 , ∂ f ∂ y 2 ,   - 1 = - 2 , ∂ 2 f ∂ x 2 2 ,   - 1 = 1 , ∂ 2 f ∂ y 2 2 ,   - 1 = 4 e ∂ 2 f ∂ y ∂ x 2 ,   - 1 = 0 , o valor de ∂ 2 g ∂ v   ∂ u - 1 ,   1 é:

a) 16 .

b) 8 .

c) - 16 .

d) - 8 .

e) 0 .

Resolução
16.

Seja f :   R 2 → R , f = f x ,   y uma função de classe C 2 . Considere g :   R 2 → R dada por

g u ,   v = u   f u 2 + v 2 ,   u v

Sabendo que ∂ f ∂ x 2 ,   - 1 = 2 , ∂ f ∂ y 2 ,   - 1 = - 2 , ∂ 2 f ∂ x 2 2 ,   - 1 = 1 , ∂ 2 f ∂ y 2 2 ,   - 1 = 4 e ∂ 2 f ∂ y ∂ x 2 ,   - 1 = 0 , o valor de ∂ 2 g ∂ v   ∂ u 1 ,   - 1 é:

a) - 16 .

b) 16 .

c) 8 .

d) - 8 .

e) 0 .

Resolução
17.

Seja f x , y uma função com derivadas parciais f x x . f y y , f x y = f y x contínuas. Sejam

x u , v = ln ⁡ 1 + u 2 + v 2

y u , v = e u + v sen ⁡ u v

E

g u , v = f x u , v , y u , v

Assuma que

f ln ⁡ 2 , 0 = 1 ,       f x ln ⁡ 2 , 0 = 2 ,       f y ln ⁡ 2 , 0 = e - 1

Sabendo que

f x x ln ⁡ 2 , 0 = a ,       f x y ln ⁡ 2 , 0 = b ,       f y y ln ⁡ 2 , 0 = c

Calcule g v v 0,1 em função de a , b e c .

Resolução
18.

Seja z = f x , y função de classe C 2 e considere h u , v = f u + v , u - v .

a) Calcule ∇ h u , v .

b) Verifique que

  δ 2 h δ u δ v u , v = δ 2 f δ x 2 u + v , u - v - δ 2 f δ y 2 u + v , u - v

Resolução

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