Enunciado

2. Expresse g ' ' ( t ) em termos de derivadas parciais de f , sendo g t = f ( 5 t , 4 t )

Passo 1

Vamos primeiro calcular a primeira derivada usando a regra da cadeia

g ' t = ∂ f ∂ x d x d t + ∂ f ∂ y d y d t

Sabemos que x = 5 t e y = 4 t , então d x d t = 5   e d y d t = 4

Ficamos, então com

g ' t = ∂ f ∂ x ( 5 ) + ∂ f ∂ y ( 4 )

Passo 2

Agora calculamos a segunda derivada, também usando a regra da cadeia

g ' ' t = 5 ∂ ∂ x ∂ f ∂ x d x d t + ∂ ∂ y ∂ f ∂ x d y d t + 4 ( ∂ ∂ x ∂ f ∂ y d x d t + ∂ ∂ y ∂ f ∂ y d y d t

g ' ' t = 5 ∂ ∂ x ∂ f ∂ x d x d t + ∂ ∂ y ∂ f ∂ x d y d t + 4 ( ∂ ∂ x ∂ f ∂ y d x d t + ∂ ∂ y ∂ f ∂ y d y d t

Substituindo os valores

g ' ' t = 5 ∂ ∂ x ∂ f ∂ x ( 5 ) + ∂ ∂ y ∂ f ∂ x ( 4 ) + 4 ∂ ∂ x ∂ f ∂ y 5 + ∂ ∂ y ∂ f ∂ y 4

g ' ' t = 25 ∂ 2 f ∂ x 2 + 20 ∂ 2 f ∂ y   ∂ x + 20 ∂ 2 f ∂ x   ∂ y + 16 ∂ 2 f ∂ y 2

Resposta

g ' ' t = 25 ∂ 2 f ∂ x 2 + 20 ∂ 2 f ∂ y   ∂ x + 20 ∂ 2 f ∂ x   ∂ y + 16 ∂ 2 f ∂ y 2

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3. Considere a função g t = f a + h t , b + k t , com a ,b ,h e k constantes.b) Supondo f ( x , y ) de classe C 3 num aberto deR 2 , verifique que g ' ' ' t = h 3 ∂ 3 f ∂ x 3 x , y + 3 h 2 k ∂ 3 f ∂ x
9. Sejam f x , y de Classe C 2 num aberto R 2 , g x derivável até a 2ª ordem num intervalo aberto I e tais que, para to x ∈ I ,f x , g x = 0 (isto é, y = g ( x ) é dada implicitamente pela equação f x
7. Seja g u , v = f 2 u + v , u - 2 v , onde f ( x , y ) é suposta de classe C 2 . Verifique que ∂ 2 g ∂ u 2 + ∂ 2 g ∂ v 2 = 5 ∂ 2 f ∂ x 2 + 5 ∂ 2 f ∂ y 2
11. Suponha que f ( x , y ) satisfaça a equação ∂ 2 f ∂ x 2 = c 2 ∂ 2 f ∂ t 2 ( c ≠ 0 constante). (i)a) Deteremine constante m , n , p e q para que g u , v = f x , t , onde x = m u + n v e t = p u - q