Enunciado

Considere uma partícula se movendo no plano ao longo da curva definida por:

σ t = t - sen ⁡ t ,   1 - cos ⁡ t ,     0 ≤ t ≤ 2 π

Determine a velocidade máxima da partícula e o instante em que ela ocorre

Passo 1

Beleza galera, pra começar, a velocidade é definida como V t = σ ' t . Então derivando, achamos:

σ t = t - sen ⁡ t ,   1 - cos ⁡ t

V t = σ ' t = 1 - cos ⁡ t ,   sen ⁡ t

Só que como queremos a velocidade máxima,então vamos ver como seria o módulo desse vetor? Dá uma olhada:

V t = 1 - cos ⁡ t 2 + sen ⁡ t 2

V t = 1 - 2 cos ⁡ t + cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t

Como:

cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t = 1

Ficamos com:

V t = 2 - 2 cos ⁡ t

Passo 2

Show, temos agora uma função que representa o módulo do vetor velocidade em função do tempo. Pra achar em que instante esse módulo é o maior possível, vamos derivar e igualar a zero, beleza?

v t = 2 - 2 cos ⁡ t

v ' t = 2 - 2 cos ⁡ t ' 2 2 - 2 cos ⁡ t = 2 sin ⁡ t 2 2 - 2 cos ⁡ t = sin ⁡ t 2 - 2 cos ⁡ t

Igualando a zero:

v ' t = sin ⁡ t 2 - 2 cos ⁡ t = 0

sin ⁡ t = 0 ,     0 ≤ t ≤ 2 π

t = 0 π

Checando esses valores de t encontrados no valor do módulo, temos:

V 0 = 2 - 2 cos ⁡ 0 = 2 - 2 = 0

V π = 2 - 2 cos ⁡ π = 2 + 2 = 2

E ta na mão!

Resposta

A velocidade máxima ocorre em t = π       u . t . e é V = 2       u . v .

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