1.

Encontre o vetor tangente unitário para a involuta do circulo no ponto P ( x , y ) cuja parametrização é dada por:

x t = cos ⁡ t + t s e n   t

y t = s e n   t - t c o s   t

t > 0

Resolução
2.

Encontre o vetor tangente unitário da curva

r t = ( t s e n t + c o s t ) i + ( t c o s t - s e n t ) j , t ∈ [ 2 , 2 ]

Resolução
3.

Dois carros se movem sobre pistas circulares concêntricas de raios 1km e 2km, respectivamente. O primeiro com velocidade angular constante de 20   r d / h . O segundo, parte do repouso, e mantem aceleração angular constante de 40   r d / h ² . Suponha que no instante inicial os dois carros estão emparelhados.

  1. Encontre os vetores posição para os dois movimentos
  2. Quanto tempo leva o segundo carro para se emparelhar novamente com o primeiro?
  3. Ache a velocidade do segundo carro neste instante.
Resolução
4.

Dois carros R 1 e R 2 percorrem, respectivamente, as estradas BR-101 e BR-102, tendo os seus movimentos descritos por

σ 1 t = 10 t , 50 t 2 e σ 2 t = ( 7 t ,   70 t - 50 ) , t ≥ 0

  1. No ponto P onde as estradas BR-101 e BR-102 se cruzam está situado um posto de fiscalização de velocidades. Encontre esse ponto P .
  2. Sabendo que o limite de velocidade em qualquer estrada brasileira é de 80   km / h , qual dos dois será multado no ponto P ?
Resolução
5.

Uma partícula se move de acordo com a lei de movimento r t = 2 t , t 2 - 1 , t 2 + 1 , para t ∈ R .

a) Determinem, caso existam, as posições e velocidades da partícula nos instantes em que ela atinge os plano x O z , x O y e y O z .

Resolução
6.

r t = t + 1 i + t 2 - 1 j é a posição de uma partícula no plano x y no instante t . Encontre o vetor velocidade da partícula no instante t = 1 .

Resolução
7.

Encontre o vetor tangente unitário da curva

r t = t i + 2 3 t 3 2 k , t ∈ [ 0,8 ]

Resolução
8.

Sejam a , b ∈ R tais que 0 < a ≤ b . Considere a curva C representada parametricamente por r : 0,2 π → R 2 , r t = a cos ⁡ t ,   b sen ⁡ t

  1. Desenhe o traço e o gráfico de C . Justifique.

c) Assuma b = 2 a . Determine os vetores velocidade da curva C em cada ponto de interseção da curva com os eixos x e dos y e represente-os graficamente.

Resolução
9.

Seja C a curva obtida pela interseção do plano

z = 2 x

E do paraboloide

z = x 2 + 4 y 2

O vetor tangente a C no ponto 1 , 1 2 , 2 é paralelo ao vetor:

  1. ( 0,2 , 1 )
  2. ( 1,0 , - 1 )
  3. ( 1,0 , 2 )
  4. ( 0,1 , 3 )
  5. ( 1,0 , 5 )
Resolução
10.

Calcule a velocidade da curva r t = ( cos ⁡ t , sen ⁡ t , t 2 ) , indicando a única resposta correta. Considere a resposta em t = π / 4   .

(a) ( - 2,2 , π / 4   )

(b) ( 2 2 , 2 2 , π 4 )

(c) ( - 2 2 , 2 2 , π 2 )

(d) ( - 2 2 , - 2 2 , π 4 )

(e) ( 2 2 , 2 2 , π 2 )

Resolução
11.

Encontre o vetor velocidade para o movimento circular r t → = cos ⁡ 2 t i + sen ⁡ 2 t j

  1. v t → = sen ⁡ 2 t i + cos ⁡ 2 t j
  2. v t → = 2 . sen ⁡ 2 t i + 2 cos ⁡ 2 t j
  3. v t → = - 2 . sen ⁡ t i + 2 cos ⁡ t j
  4. v t → = - 2 . sen ⁡ 2 t i + 2 cos ⁡ 2 t j
  5. v t → = - 2 . sen ⁡ 2 t i - 2 cos ⁡ 2 t j
Resolução
12.

Em qual ponto da curva parametrizada por

r t = 3 t 2 - 3 t , t 3 ,   t ∈ R

O vetor tangente é paralelo ao vetor u = ( 1,1 ) ?

  1.   ( 0,1 )
  2. ( 1,0 )
  3.   ( 1,1 )
  4.   ( 1 , - 1 )
Resolução
13.

Um objeto se desloca segundo o vetor posição

r t = 2,4 sen ⁡ t 2 ,   3 - t π ,   t ≥ 0

Se t 1 é o primeiro instante em que r ( t ) é ortogonal ao vetor u = ( 1 , - 1,0 ) , a velocidade escalar do objeto em t = t 1 é:

  1. 0
  2. 3 + 1 π 2
  3. 3 - 1 π 2
  4. 24
  5. 13
Resolução
14.

Sabendo que a imagem da curva

γ 1 t = t , 2 t , z ( t ) ,   t ∈ R

Está contida no gráfico da função dada por

f x , y = x 3 + x 2 - y 2

O vetor tangente a γ em γ ( 1 ) é igual a :

  1. ( 1,2 , - 3 )
  2. ( 1,2 - 1 )
  3. ( 1,2 , 1 )
  4. ( 1,2 , 3 )
  5. 1,2 , 5
Resolução
15.

Se P = ( a , b ) é o ponto da curva parametrizada por

r t = 3 t 2 - 3 t ,   t 3   ,   t ∈ R

Em que o vetor tangente é normal ao vetor u = ( 1 , - 1 ) então a + b vale

  1. - 2
  2. 0
  3. 2
  4. - 1
  5. 1
Resolução
16.

Considere a curva parametrizada por

r t = 2 cos ⁡ t , 2 sen ⁡ t , t 2   ,   t ≥ 0

Em qual ponto da curva o vetor tangente faz um ângulo π 6 com o vetor ( 0,0 , 1 ) ?

  1. 3 , 1 , π 2 3
  2. 2 , 2 , π 2 16
  3. r 3
  4. r 2
  5. 0 , 2 , π 2 4
Resolução
17.

Considere a curva parametrizada por

r t = 2 cos ⁡ t ,   2 sen ⁡ t ,   2 t   ,   t ∈ [ 0 , π ]

Em qual ponto da curva o vetor tangente faz um ângulo π 3 com o vetor ( 0,1 , 0 ) ?

  1. 2 , 2 , π 2
  2. 3 , 3 , π 2 16
  3. 3 , 1 , π 2 36
  4. r π / 6
  5. 0 , 2 , π 2 4
Resolução
18.

Dois objetos se deslocam segundo os seguintes vetores posição:

r 1 t = t , t   ,   t ≥ 0

r 2 t = t , 1 - t 2 ,   t ≥ 0

Lembre que a velocidade escalar de um objeto com o vetor posição r ( t ) é r ' t .

Considere as alternativas:

  1. Os objetos se chocam em um ponto.
  2. As trajetórias dos objetos se cruzam em dois pontos.
  3. No ponto 2 2 , 1 2 o ângulo θ entre as trajetórias é tal que cos ⁡ θ = - 1 3
  4. O segundo objeto cruza o eixo x no instante t = 1 com velocidade escalar igual a 2.
  5. Quando t → ∞ , a velocidade escalar do primeiro objeto tende a 1.
  1. Apenas a afirmativa I é falsa
  2. Apenas as afirmativas I e II são falsas
  3. Apenas as afirmativas I e III são falsas
  4. Apenas as afirmativas III e V são verdadeiras
  5. Todas as afirmativas são falsas
Resolução
19.

Uma partícula se desloca no plano x y em movimento circular de raio r = 1 tal que sua velocidade angular satisfaz a seguinte condição

d θ d t = θ

θ 0 = 1

Se o vetor posição desse objeto é r ( t ) então sua velocidade escalar v = | r ' t | no instante t = 2 π é:

  1. v = e 2 π
  2. v = e - 2 π
  3. v = e π
  4. v = e - π
  5. v = 1
Resolução
20.

Encontre um vetor tangente unitário da curva r t → = 6 . sen ⁡ 2 t i + 6 . cos ⁡ 2 t j + 5 t k para t pertencente ao intervalo [ 0 , π ]

Resolução
21.

Calcule a velocidade de uma partícula com vetor de posição r ( t ) → = ( t 2 , e t , t e t ) . Indique a única resposta correta.

  1. ( 2 ,   e t ,     1 + t e t )
  2. ( 2 t ,   e t ,     1 - t e t )
  3. ( t ,   e t ,     2 + t e t )
  4. ( 2 t ,     e t ,     1 + t e t )
  5. ( t ,     e t ,     1 + t e t )
Resolução
22.

O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por r → t = t 3 i + t 2 j .

Determine a velocidade do objeto no instante t = 1 .

Resolução
23.

Seja r t = x t i + y t j + z t k o vetor posição de uma partícula que se move ao longo de uma curva lista no plano.

Considere as afirmações. Assinale (V) ou (F):

  1. ( ) Quando uma partícula se move durante um intervalo de tempo I , as coordenadas da partícula são x t ,   y t ,   z ( t ) . Os pontos P x t , y t , z t formam uma curva que é a trajetória da partícula;
  2. ( ) A velocidade é a derivada da posição, isto é: v t = r ' t = d r / d t ;
  3. ( ) O módulo da velocidade ou a magnitude da velocidade é igual a v t = d x t d t 2 + d y t d t 2 + d z t d t 2 ;
  4. ( ) A aceleração é a derivada da velocidade, ou seja, a t = v ' t = d v ( t ) / d t ;
  5. ( ) O vetor unitário ou versor v ( t ) / | v t | é a direção do movimento no instante t ;
  6. ( ) r ( t ) é lisa se for contínua e nunca 0 ;
  1. (1) V (2) F (3) F (4) V (5) F (6) V
  2. (1) V (2) F (3) V (4) V (5) V (6) V
  3. (1) V (2) V (3) V (4) V (5) V (6) F
  4. (1) V (2) V (3) F (4) V (5) V (6) F
  5. (1) V (2) F (3) V (4) V (5) V (6) F
Resolução
24.

Seja r t = e t i + 2 9 e 2 t j a posição de uma partícula no plano x y no instante t . Encontre o vetor velocidade e aceleração da partícula no instante t .

Resolução
25.

Um competidor em sua asa-delta realiza uma espiral no ar cujo vetor posição é r t = 3 . cos ⁡ t i + 3 . sen ⁡ t j + t 2 k . Esta trajetória faz lembrar a de uma hélice. Para o intevalo de tempo [ 0,4 π ] , encontre o módulo da velocidade da asa-delta no instante t = 0 .

Resolução
26.

Encontre o vetor velocidade para o movimento circular r t → = cos ⁡ 2 t i + sen ⁡ 2 t j

  1. v t → = - 2 sen ⁡ 2 t i + 2 cos ⁡ 2 t j
  2. v t → = - 2 sen ⁡ t i + 2 cos ⁡ t j
  3. v t → = 2 sen ⁡ 2 t i + 2 cos ⁡ 2 t j
  4. v t → = - 2 sen ⁡ 2 t i - 2 cos ⁡ 2 t j
  5. v t → = sen ⁡ 2 t i + cos ⁡ 2 t j
Resolução
27.

Considere a curva C definida pela função vetorial

r t = t s e n π t ,   t c o s π t ,   t 2

Onde t ≥ 0 .

a) Mostre que a curva C está contida em uma superfície quádrica. Identifique essa superfície e use esse fato para esboçar a curva C .

b) Encontre a equação simétrica a reta tangente à curva C no ponto P 0 ,   - 1 ,   1 .

Resolução
28.

A reta tangente à curva dada pela intersecção das superfícies 2 x 2 - y 2 + 4 z 2 = 7 e x + y = 1 no ponto - 1 ,   2 , 3 2 é paralela ao vetor

a) 1 ,   - 1 ,   0 .

b) 2 ,   - 1 ,   0 .

c) - 1 ,   2 ,   0 .

d) 1 ,   0 ,   - 1 .

e) 1 ,   0 ,   - 2 .

Resolução
29.

A reta tangente à curva dada pela intersecção das superfícies x 2 - 3 y 2 + 4 z 2 = 1 e x + 2 y = 1 no ponto - 3 ,   2 ,   1 é paralela ao vetor

a) 2 ,   - 1 ,   0 .

b) 1 ,   - 1 ,   0 .

c) - 1 ,   2 ,   0 .

d) 1 ,   0 ,   - 1 .

e) 1 ,   0 ,   - 2 .

Resolução
30.

A reta tangente à curva dada pela intersecção das superfícies 5 x 2 - y 2 + 4 z 2 = 4 e 2 x + y = 1 no ponto - 2 ,   5 , 3 2 é paralela ao vetor

a) - 1 ,   2 ,   0 .

b) 2 ,   - 1 ,   0 .

c) 1 ,   - 1 ,   0 .

d) 1 ,   0 ,   - 1 .

e) 1 ,   0 ,   - 2 .

Resolução
31.

Uma partícula se move de acordo com a lei de movimento r t = 2 t , t 2 - 1 , t 2 + 1 , para t ∈ R .

a) Determinem, caso existam, as posições e velocidades da partícula nos instantes em que ela atinge os plano x O z , x O y e y O z .

b) Suponha que o plano y O z seja uma parece, de forma que a partícula, ao chocar-se com ela, seja refletida e siga a partir daí com movimento retilíneo uniforme. Ache a posição da partícula duas unidades de tempo após o choque.

Resolução
32.

Duas partículas A e B se deslocam em movimentos circulares com as trajetórias descritas respectivamente por :

r A t = R c o s t 2 ,   R s e n t 2

r B t = R c o s t 3 , R s e n t 3

Com t medido em segundos e R em metros. As duas partem do ponto P 0 = R , 0 e se encontram pela primeira vez no ponto P 1 com velocidade (escalar) relativa de B em relação a A igual a ?

Resolução
33.

Uma partícula se move no plano com vetor posição x t , y t para cada instante t ≥ 0 , sendo que no instante t = 0 , ela está na origem. Sabendo que o vetor velocidade da partícula é dado por v t = e t , x t + y t , quanto vale y 1 ?

a 2

b e

c 1

d - e - 1

e e 2 - 1

Resolução

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