Enunciado

Considere o problema de valor inicial

y ' + 1 4 y = 3 + 2 cos ⁡ 2 t ,       y 0 = 0  

a) Encontre a solução desse problema de valor inicial e descreva seu comportamento para valores grandes de t

b) Determine o valor det para o qual a solução intersecta pela primeira vez a reta   y   =   12

Passo 1

a) Discutimos até esse ponto do livro como resolver alguns casos mais simples de EDO, a partir de agora vamos começar a lidar com equações que tem a seguinte cara:

P t y ' + Q t y = G t ,       c o m   P t ≠ 0

O método para resolver tal equação que vamos utilizar é conhecido como método do fator integrante.

Dada uma equação no formato acima o que devemos primeiramente fazer é deixar a equação assim ó:

y ' + Q t P t y = G t P t   ⟹ y ' + q t y = g t

Passo 2

Trabalhando em cima do nosso problema, vamos resolver pelo método...

y ' + 1 4 y = 3 + 2 cos ⁡ 2 t          

Multiplicamos por μ t  

μ t   y ' + 1 4 μ t   y = μ t 3 + 2 cos ⁡ 2 t

De modo que

d μ t d t = 1 4 μ t   ⟹     d μ t μ t = 1 4 d t     ⟹ d ln ⁡ μ t = 1 4 d t  

Integrando nosso resultado acima( nesse passo, não incluímos a constante de integração ):

∫ d ln ⁡ μ t = ∫ 1 4 d t   ⟹   ln ⁡ μ t = t 4   ⟹   μ t = e t 4

Repare que o lado esquerdo da nossa equação que foi multiplicada por μ t   é o resultado da regra do produto de derivação de 2 funcões

μ t   y ' + 1 4 μ t   y = μ t 3 + 2 cos ⁡ 2 t   ⟹  

⟹ d   μ t   y d t = μ t   ⟹   d   μ t   y =   μ t 3 + 2 cos ⁡ 2 t d t    

Subsituindo os valores encontrados e integrando

⟹ e t 4 y =   ∫ e t 4 3 + 2 cos ⁡ 2 t d t = 4 65 e t 4 16 s e n 2 t + 2 cos ⁡ 2 t + 195 + C

y   = 4 65 16 s e n 2 t + 2 cos ⁡ 2 t + 195 + C e t 4

y 0 = 4 65 197 + C = 0

y t =   4 65 16 s e n 2 t + 2 cos ⁡ 2 t + 12 - 788 65 e t 4

Para t   →   ∞ ⟹     C e 1 4 → 0 , portanto y   o s c i l a   e m   t o r n o   d e   12

Resposta

y   o s c i l a   e m   t o r n o   d e   12

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