Enunciado

Reações Químicas. Uma reação química de segunda ordem envolve a interação (colisão) de

uma molécula de uma substância P com uma molécula de uma substância Q para produzir uma molécula de uma nova substância X ; isto é denotado por P   +   Q   →   X . Suponha que p e q , onde p ≠   q , são as concentrações iniciais de P e de Q , respectivamente, e seja x ( t ) a concentração de X no instante t. Então p   –   x ( t ) e q   –   x ( t ) são as concentrações de P e de Q no instante t , e a taxa segundo a qual a reação ocorre é dada pela equação

d x / d t = α ( p - x ) ( q - x ) ,       ( i )

em que α é uma constante positiva.

(a) Se x ( 0 )   =   0 , determine o valor limite de x ( t ) quando t   →   ∞ sem resolver a equação

diferencial. Depois resolva o problema de valor inicial e encontre x ( t ) para qualquer t .

(b) Se as substâncias P e Q são a mesma, então p   =   q , e a Eq. (i) é substituída por

d x / d t = α p - x 2

Se x ( 0 )   =   0 , determine o valor limite de x ( t ) quando t   →   ∞ sem resolver a equação diferencial.

Depois resolva o problema de valor inicial e encontre x ( t ) para qualquer t .

Passo 1

Meus deus, que questão gigante. Nem quero mais faze-la, mas fazer o que...

Passo 2

(a) Em uma dada equação, quando buscando pontos de equilíbrio, queremos saber quando a derivada é nula, ou seja

d y d t = r 1 - y K y - E y = 0

Assim temos

r 1 - y K - E y = 0

Assim temos que nosso primeiro ponto de equilíbrio é dado em y 1 = 0

O outro é dado por

r 1 - y 2 K - E = 0

Ou seja

y 2 = K 1 - E r

Com E < r

Passo 3

(b) Se os pontos em torno de um ponto de equilíbrio forem maiores que zero em ambos os lados, então temos estabilidade. Caso sejam menores que zero, temos instabilidade.

Então vamos primeiro em y = y 1 = 0

Pela esquerda

lim t → 0 - ⁡ r 1 - y K - E y

O termo entre parênteses será maior que 1, assim teremos que α r - E > 0 , onde α = ( 1 - y / K )

Entretanto não podemos esquecer o y fora do parênteses que será sempre negativo para valores menores que 0 . Desta forma temos que

lim t → 0 - ⁡ r 1 - y K - E y < 0

Já para o limite pela direita

lim t → 0 + ⁡ r 1 - y K - E y

O valores dentro do parênteses será menor que 1, assim temos que α r - E < 0 .

Enquanto o y fora do parentes será sempre positivo assim temos que

lim t → 0 + ⁡ r 1 - y K - E y < 0

O que torna y 1 um ponto instável

Agora para y 2 = K 1 - E / r

lim y → K 1 - E r ± ⁡ r 1 - y K - E y = E ± - E K 1 - E ± r

Temos que E ± < r assim

1 - E ± r > 0

O que nos dá que para E + a derivada é positiva e para E - a derivada é negativa. Assim temos que y 2 é semi-estável (olhar exercício 7).

Passo 4

(c) Como indicado em nosso enunciado, uma produção sustentável Y é dada pelo produto do empenho pela produção assintoticamanete estável y 2 , ou seja

Y = E y 2 = K E 1 - E r

Incrível que o exercício nos deu a resposta.

Passo 5

(d) Para isso basta diferenciar Y em função de E , ou seja

d Y d E = K 1 - 2 E r

E para maximizar, queremos

K 1 - 2 E r = 0 → E = r / 2

Resposta

  1. y 1 = 0 e y 2 = K ( 1 - E / r )
  2. Y = K E ( 1 - E / r )
  3. E = r / 2
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