Enunciado

Epidemias. A utilização de métodos matemáticos para estudar a disseminação de doenças contagiosas vem desde a década de 1760, pelo menos, quando Daniel Bernoulli fez um trabalho relativo á varíola. Em anos mais recentes, muitos modelos matemáticos foram propostos e estudados para diversas doenças diferentes. Os problemas de 22 a 24 tratam alguns dos modelos mais simples e as cpnclução que podem ser tirada deles. Modelos semelhantes também também têm sido usados para descrever a disseminação de boatos e de produtos de consumo.

23. Algumas doenças (como tifo) são disseminadas por portadores, indivíduos que podem transmitir a doença, mas que não exibem sintomas aparentes. Sejam x e y , respectivamente, as proporções de suscetíveis e portadores na população. Suponha que os portadores são identificados e removidos da população a uma taxa β , de modo que

d y / d t = - β y (i)

Suponha, também, que a doença se espalha a uma taxa proporcional ao produto de x e y ; logo

d x / d t = - α x y (ii)

(a) Determine y em qualquer instante de tempo t resolvendo a Eq. (i) sujeita à condição incial y 0 = y 0 .

(b) Use o resultado do item (a) para encontrar x em qualquer instante t resolvendo a Eq.(ii) sujeita à condição incial x 0 = x 0

(c)Encontre a proporção da população que escapa da epidemia calculando o valor limite de x quando t → ∞ .

Passo 1

Meus deus, que questão gigante. Nem quero mais faze-la, mas fazer o que...

Neste primeiro passo ficamos só com a parte que nos assustamos com o tamanho da questão, mas vamos já indicar que ela é trabalhosa, não difícil.

Passo 2

(a) A resolução da primeira equação não é complicada. Tome pela ideia de separação de variáveis que

d y y =   - β d t → ln ⁡ y = - β t + c → y = C e - β t

Já que se trata de um problema de fator inicial, temos que

y 0 = y 0 = C e 0 = C

Assim temos como solução do nosso problema

y t = y 0 e - β t

Passo 3

(b) Agora temos a solução (ii) que é dada por

d x d t = - α x y = - α x y 0 e - β t

Agora usando a mesma técnica do item anterior

d x x = - α y 0 e - β t d t

Resolvendo nossa equação, temos

ln ⁡ x = α β y 0 e - β t + c

Assim temos que

x t = C exp ⁡ α β y 0 e - β t

Agora resolvendo o problema de valor inicial onde x 0 = x 0

Temos que

x 0 = C exp ⁡ α b y 0

Então temos como solução

x t = x 0 exp ⁡ α β y 0 e - β t - 1

Passo 4

(c) Quanto tendemos nosso valor t → ∞

lim t → ∞ ⁡ x 0 exp ⁡ α β y 0 e - β t - 1 = x 0 exp ⁡ - α β y 0

Resposta

  1. y t = y 0 e - β t
  2. x t = x 0 exp ⁡ α β y 0 e - β t - 1
  3. x 0 exp ⁡ - α β y 0
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