Enunciado

21 . Considere o problema de valor inicial

y '   =   y 1 / 3 ,   y ( 0 )   =   0

do Exemplo 3 no texto.

(a) Existe uma solução que contém o ponto (1, 1)? Em caso afirmativo, encontre-a.(b) Existe uma solução que contém o ponto (2, 1)? Em caso afirmativo, encontre-a.(c) Considere todas as soluções possíveis do problema de valor inicial dado. Determine o conjunto de valores que essas soluções têm em t = 2

Passo 1

Temos aqui uma equação clássica para ser resolvida pelo Método de Separação de Variáveis. O nome já dá um spoiler sobre o que vamos fazer, então tudo que for y vai para um lado e tudo o que for x vai pro outro. Essa equação é bem tranquilinha de ser resolvida, então vamos devagar e desvendando a solução

y '   =   y 1 / 3

d y d t =   y 1 3  

y - 1 3 d y = d t

Agora integramos em ambos os lados

∫ y - 1 3 d y = ∫ d t

3 2 y 2 3 = t + C

Usando nossa condição inicial de que y 0 = 0 :

Podemos reescrever como:

y 2 3 = 2 3 t + 2 3 C

Como 2 3 C continua sendo uma constante, vamos fazer 2 3 C = C , beleza? Assim:

y t = ± 2 3 t + C 3 2

Esse ± surge por conta da raiz quadrada, beleza? Dessa forma, a condição inicial fica:

y 0 = ± 2 3 0 + C 3 2

y 0 = ± C 3 2 = 0

Só que, você concorda comigo que o único número que elevado a alguma potência resulte em 0 , é o próprio 0 ? Então:

C = 0

Nossa solução, será:

y t = ± 2 3 t 3 2 = ± 2 3 t 3

Repare que isso só é verdade, dentro dos números reais, se t ≥ 0 né? Senão teríamos a raiz quadrada de um número negativo. Além disso, se y = 0 , também temos uma solução para esse problema. Então, podemos dizer que para qualquer t 0 positivo:

y ( t ) = 0 ,     s e   0 ≤ t ≤ t 0 ± 2 3 ( t - t 0 ) 3 2 ,     s e   t ≥ t 0

Essas são todas as soluções do problema!

Passo 2

  1. O problema a) é descobrir se existe uma solução que contenha o ponto ( 1,1 ) . Então, podemos pegar a nossa solução do passo anterior e ver se ela contém esse ponto, substituindo o ponto nela:

y 1 = ± 2 3 ( 1 - t 0 ) 3 2 = 1

± 2 3 - 2 3 t 0 3 2 = 1

Elevando ao quadrado:

2 3 - 2 3 t 0 3 = 1

Calculando a raiz cúbica dos dois lados:

2 3 - 2 3 t 0 = 1

2 3 t 0 = 2 3 - 1 = - 1 3

t 0 = - 1 2

Opa, como sabemos que t 0 > 0 , pela definição, esse valor não se encaixa na nossa solução!!

Logo, não há solução que contenha o ponto ( 1,1 ) .

Resposta

Não existe solução.

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