Enunciado

Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 e   c 2 são constantes).

d P d t = P a - b P ;     P = a c 1 e a t 1 + b c 1 e a t

Passo 1

E aí, tudo joia?

Essa daí tá feia hein? Bom, mas olha só: o d P d t nos mostra que isso é uma função e P   e   t , então as outras letrinhas a gente considera tudo constante, beleza?

Bom, a gente quer saber se   P = a c 1 e a t 1 + b c 1 e a t   é solução da equação d P d t = P a - b P     . Para saber isso, a gente tem que substituir os termos da equação e ver se temos uma igualdade verdadeira.

Vamos derivar P em relação a t para encontrarmos d P d t ...

Passo 2

Derivando...

d P d t =   a 2 c 1 e a t ⋅ ( 1 + b c 1 e a t ) - a c 1 e a t a b c 1 e a t 1 + b c 1 e a t 2

Vamos escrever assim:

d P d t = a c 1 e a t 1 + b c 1 e a t ⋅ [ a 1 + b c 1 e a t - a b c 1 e a t ] 1 + b c 1 e a t  

E como P = a c 1 e a t 1 + b c 1 e a t , podemos escrever:

d P d t = P ( a - b P )

Que coincide com a nossa equação do início! Ou seja, a função é uma solução! 😉

Resposta

É solução.

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Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 ec 2 são constantes). y ' = 25 + y 2 ; y = 5 tg ⁡ 5 x
Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 ec 2 são constantes). d y d x - 2 y = e 3 x ; y = e 3 x + 10 e 2 x
Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 ec 2 são constantes). 2 y ' + y = 0 ;y = e - x 2
Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 ec 2 são constantes). d y d x = y x ;y = x + c 1 2 ,x0 ,c 10
Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 ec 2 são constantes). d y d t + 20 y = 24 ; y = 6 5 - 6 5 e - 20 t