Enunciado

Considere o problema de valores de contorno.

Mostre que, se m, n = 0, 1, 2, . . . , então

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para analisarmos as deformações verticais de uma barra em suas condições de contorno. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser analisar a equação dada.

∫ ϕ m x ϕ n x d x = 0

Para n ≠ 0

y x = J o λ x

Usando a definição das condições de contorno, tiramos:

J o ' λ n = 0

λ n ∫ x J o λ n x d x = 0

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!

L y =   - x y ' '

L J o λ n x = λ n x J o λ n x

L J o λ m x = λ m x J o λ m x

∫ J o λ m x L J o λ n x - J o λ n x L J o λ m x d x = 0

ϕ n x = J o λ n x

Resposta

ϕ n x = J o λ n x

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Para cada uma das condições de contorno a seguir, encontre o menor autovalor (a força de deformação) de y ^(4) + λy′′ = 0 e encontre também a autofunção associada (a forma da coluna deformada).
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