Enunciado

O circuito elétrico ilustrado na Figura 7.6 . 7   é descrito pelo sistema de equações diferenciais

d d t I V = 0 1 L - 1 C - 1 R C I V

em que I é a corrente passando no indutor e V é a queda de tensão através do capacitor. Essas equações diferenciais foram deduzidas no Problema 19 da Seção 7.1.

a ) Mostre que os autovalores da matriz de coeficientes são reais e distintos se L   >   4 R 2 C ; mostre que são complexos conjugados se L   <   4 R 2 C .

b ) Suponha que R = 1   Ω ,   C = 1 2 F e L = 1   H .Encontre a solução geral do sistema ( i ) nesse caso.

c ) Encontre I ( t ) e V ( t ) se I ( 0 )   =   2   A e V ( 0 )   =   1   V .

d ) Para o circuito no item ( b ) , determine os valores limites de I ( t ) e V ( t ) quando t   →   ∞ . Esses valores limites dependem das condições iniciais?

Passo 1

Os autovalores dessa matriz serão encontrados fazendo a determinante igual a:

det ⁡ 0 - r 1 L - 1 C - 1 R C - r = 0

Então:

- 1 R C - r - r + 1 L C = 0

Portanto:

r 2 + 1 R C r + 1 L C = 0

E as raízes serão:

r 1 ; r 2 = - 1 R C ± 1 R 2 C 2 - 4 L C 2 = - 1 2 R C ± 1 4 R 2 C 2 - 1 L C

E se as raízes são reais e distintas então:

1 4 R 2 C 2 - 1 L C > 0

1 4 R 2 C 2 > 1 L C

L > 4 R 2 C

E se as raízes são complexas então:

1 4 R 2 C 2 - 1 L C < 0

Então:

L < 4 R 2 C

Passo 2

Para os valores dados na letra b nós teremos:

R = 1   Ω ,   C = 1 2 F e L = 1   H → 1 < 4 ⋅ 1 2 2 , então teremos raízes complexas, portanto os autovalores serão:

r 1 ; r 2 = - 1 2 R C ± 1 4 R 2 C 2 - 1 L C

r 1 ; r 2 = - 1 2 2 ± 1 4 4 - 2 = - 1 ± i

E a matriz de coeficientes fica:

A = 0 1 - 2 - 2

Encontrando o autovetor para r = - 1 - i nós teremos:

1 + i 1 - 2 - 2 + 1 + i ξ 1 ξ 2 = 0

Pela primeira linha nós temos a relação:

1 + i ξ 1 + ξ 2 = 0

ξ 2 = - 1 + i ξ 1

A solução para essa equação pode ser ξ 1 = - 1 e ξ 2 = 1 + i , logo a solução causada por esse autovalor será:

x 1 = - 1 1 + i e - 1 + i t = - 1 1 + i e - t e - i t

E que será escrita por:

x 1 = - 1 1 + i e - t   cos ⁡ t - i   s e n t

Separando a parte real da imaginária nós teremos:

x 1 = - c o s ⁡ ( t ) c o s ⁡ ( t ) + s e n ( t ) e - t + i s e n ( t ) - s e n ( t ) + c o s ⁡ ( t ) e - t

E a solução geral portanto será:

x = I V = c 1 - c o s ⁡ ( t ) c o s ⁡ ( t ) + s e n ( t ) e - t + c 2 s e n ( t ) - s e n ( t ) + c o s ⁡ ( t ) e - t

Passo 3

Aplicando a condição inicial em t = 0 nós teremos:

2 = - c 1 → c 1 = - 2

1 = c 1 + c 2

Portanto c 1 = 3 e isso vai nos dar uma equação geral igual a:

x = I V = - 2 - c o s ⁡ ( t ) c o s ⁡ ( t ) + s e n ( t ) e - t + 3 s e n ( t ) - s e n ( t ) + c o s ⁡ ( t ) e - t

I V = e - t 3   s e n t + 2 c o s ⁡ ( t ) cos ⁡ t - 5 s e n ( t )

Essa solução deve ser encontrada para todos os autovetores diferentes.

E como tanto I quanto V tem o termo e - t , então quando t → ∞ tenderão a zero.

Resposta

b )   I V = c 1 - c o s ⁡ ( t ) c o s ⁡ ( t ) + s e n ( t ) e - t + c 2 s e n ( t ) - s e n ( t ) + c o s ⁡ ( t ) e - t

c )   I V = e - t 3   s e n t + 2 c o s ⁡ ( t ) cos ⁡ t - 5 s e n ( t )

d )   t e n d e r a o   a   z e r o

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