Enunciado

Considere o sistema

x ' = A x = 5 - 3 - 2 8 - 5 - 4 - 4 3 3 x

e) Escreva uma matriz fundamental Ψ ( t ) para o sistema (i).

Passo 1

Como calculamos os autovalores e autovetores da matriz, nos itens anteriores, para encontramos os itens x ( 1 ) , x ( 2 ) e x 3 será tranquilo.

Do item (a) da questão 19, temos:

x ( 1 ) = 1 0 2 e t

x 2 = 0 2 - 3 e t

E do item (d) da questão 19, temos:

x ( 3 ) = - 2 - 4 2 t e t  

Passo 2

Aplicando a formula da solução geral fica:

x = c 1 1 0 2 e t + 0 2 - 3 e t + c 3 - 2 - 4 2 t e t

Como c 1 e c 2 formam um par fundamental de solução para equação:

x ' = P t x

Temos que a matriz fundamental pode ser determinada:

Ψ t = x 1 1 t x 2 2 t x n 1 t x n 2 t

Aplicando a solução:

Ψ t = e t 0 - 2 t e t 0 2 e t - 4 t e t 2 e t - 3 e t 2 t e t

Resposta

Ψ t = e t 0 - 2 t e t 0 2 e t - 4 t e t 2 e t - 3 e t 2 t e t

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos Problemas 13 e 14, resolva o sistema de equações dado pelo método do Problema 19 da Seção 7.5. Suponha que t0. t x ' = 1 - 4 4 - 7 x
Em cada um dos problemas de 1 a 4:(a) Desenhe um campo de direções e esboce algumas trajetórias.(b) Descreva como as soluções se comportam quando t→∞ .(c) Encontre a solução geral do sistema de equaçõ
Em cada um dos problemas de 7 a 10:(a) Encontre a solução do problema de valor inicial dado.(b) Desenhe a trajetória da solução no plano x1x2 e desenhe, também, o gráfico de x1 em função de t. x ' = 1
Nos Problemas 5 e 6, encontre a solução geral do sistema de equações dado. x ' = 1 1 1 2 1 - 1 0 - 1 1 x
Em cada um dos Problemas 13 e 14, resolva o sistema de equações dado pelo método do Problema 19 da Seção 7.5. Suponha que t0. t x ' = 3 - 4 1 - 1 x