Enunciado

Em cada um dos problemas de 13 a 20, verifique se as funções dadas y 1   e y 2 satisfazem a equação homogênea associada; depois encontre uma solução particular da equação não homogênea dada. Nos Problemas 19 e 20, g é uma função contínua arbitrária.

t 2 y ' ' - 2 y = 3 t 2 - 1   , t > 0 ;     y 1 t = t 2 ,     y 2 t = t - 1      

Passo 1

Temos que verificar se y 1   e   y 2   satisfazem a equação homogênea correspondente:

t 2 y 1 ' ' - 2 y 1 = t 2 t 2 ' ' - 2 t 2 = 2 t 2 - 2 t 2 = 0

t 2 y 2 ' ' - 2 y 2 = t 2 t - 1 ' ' - 2 t - 1 = 0

Dividindo a equação inicial por t 2 > 0 , obtemos:

y ' ' - 2 t - 2 y = 3 - t 2

Implicando que :

p t = 0

q t = - 2 t - 2

g t = 3 - t - 2

Calculando o Wronskiano, temos que:

W y 1 , y 2 t = y 1 y 2 y 1 ' y 2 ' = y 1 y 2 ' - y 1 ' y 2 =

= - t 2 t - 2 - 2 t t - 1 = - 1 - 2 = - 3

Passo 2

O que é sempre diferente de zero. Portanto, y 1 t e y 2 t formam um conjunto fundamental de soluções.

Vamos agora encontrar u 1 e u 2 e g t = 3 - t - 2 .

y 1 t u 1 t = - t 2 ∫ t - 1 3 - t - 2 - 3 d t

E u 2 por:

y 2 t u 2 t = t - 1 ∫ s 2 . ( 3 - t - 2 ) - 3 d t

Aplicando na equação geral, teremos:

Y t = t 2 ln ⁡ t - A + 1 3 t 2 + 1 6 + 1 3 + B 3 t

Onde:

A = 3 ln ⁡ t 1

B = t 1 3 - t 1

Como t 2 e t - 1 já aparecem na solução da equação homogênea, a solução específica pode ser reduzida para:

Y t = t 2 ln ⁡ t + 1 2

Resposta

Y t = t 2 ln ⁡ t + 1 2

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