Enunciado

Considere um triângulo Isósceles situado no semiplano y ≥ 0   e com a base paralela ao eixo x. Mostre que o volume do sólido obtido pela rotação deste triângulo, em torno do eixo x, é igual ao produto da área deste triângulo pelo comprimento da circunferência gerada, na rotação, pelo baricentro do triângulo.

Passo 1

Primeiro temos que entender o que está sendo dito na questão.

Se sabemos que o triângulo tem a base paralela ao eixo x e ele é isósceles, então podemos desenhá-lo dessa maneira:

Gráfico para duas função de modelo y = m ( x - x 0 ) + y 0

No desenho dá pra perceber que cada reta lateral do triângulo se parece com uma reta do tipo y - y 0 = m x - x 0 , ou seja, y = m x - x 0 + y 0 , sendo m = ∆ y ∆ x e x 0 = 0

Se calcularmos o m com dois pontos conhecidos como os pontos em que cortam o eixo x e o eixo y, teremos os pontos (0, y0) e (xf, 0) e teremos:

m = ( 0 - y 0 ) ( x f - 0 ) = - y 0 x f

Com isso temos o valor de y, que vai ser importante na hora de calcularmos tanto o volume como a área da figura, assim y é:

y = - y 0 x f x + y 0

Beleza, agora sabemos o que é o triângulo e como escrevê-lo matematicamente, mas o que ele quer?

Ele quer saber se duas coisas são iguais, assim encontramos essas coisas isoladamente e vemos se os resultados batem!

Essas coisas são:

  1. O volume do sólido obtido pela rotação deste triângulo, em torno do eixo x;
  2. O produto da área deste triângulo pelo comprimento da circunferência gerada, na rotação, pelo baricentro do triângulo.

Mão na massa!

Passo 2

Pra calcular o volume do sólido obtido pela rotação deste triângulo, em torno do eixo x usamos:

V = ∫ a b π f x 2 d x

Sendo y=f(x) e lembrando que essa função só descreve metade do triângulo , temos que multiplicar a função por 2 antes de aplicar, ficamos com:

V = 2 ∫ 0 x f π - y 0 x f x + y 0 2 d x = 2 π ∫ 0 x 0 y 0 2 x f 2 x 2 - 2 y 0 2 x f x + y 0 2 d x =

2 π y 0 2 ∫ 0 x f 1 x f 2 x 2 - 2 1 x f x + 1 d x = 2 π y 0 2 x 3 3 x f 2 - x 2 x f + x 0 x f

2 π y 0 2 x f 3 3 x f 2 - x f 2 x f + x f - 0 3 x f 2 - 0 x f + 0 =

2 π y 0 2 x f - 3 x f + 3 x f 3 =

V = 2 π y 0 2 x f 3

Passo 3

Sabemos que a área de um retângulo é:

A t r i â n g u l o = ( B a s e ) × ( a l t u r a ) 2

Sendo a base do triângulo xf e a altura y0 temos que:

A t r i â n g u l o = x f y 0 2

Porém como são dois triângulos:

A t r i â n g u l o = x f y 0

O baricentro de um triângulo isósceles é um terço da altura, então ficamos que no fim O produto da área deste triângulo pelo comprimento da circunferência gerada, na rotação, pelo baricentro do triângulo é:

2 π x f y 0 2 3

Isso se dá por que consideramos o baricentro como raio e fazemos a rotação, assim o y 0 3 é multiplicado por 2   π para conseguirmos a circunferência.

Passo 4

Com isso concluímos que ambos são iguais:

∫ a b π f x 2 d x =   2 π y 0 3 A t r i â n g u l o

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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