Enunciado

Ar contendo 0,06 % de dióxido de carbono é bombeado em um salão cujo volume é de 8000 c m 3 . A taxa na qual o ar é bombeado é de 2000 . c m 3 m i n u t o , e o ar circulante é então bombeado para fora a uma mesma taxa. Se havia inicialmente uma concetração de 0,2 % de dióxido de carbono, determine a quantidade subsequente no salão em qualquer instante. Qual será a concentração em 10 minutos? Qual é a concentração estacionária (ou de equilíbrio) de dióxido de carbono?

Passo 1

Então pessoal, para esse tipo de problema de misturas temos que a equação diferencial que descreve a situação é a seguinte:

d A d t = T a x a   d e   E n t r a d a   d e   Á l c o o l - T a x a   d e   S a í d a   d e   Á l c o o l

Ou melhor:

d A d t = R 1 - R 2

No qual A t é a quantidade de álcool na mistura após uma quantidade de tempo t . Inicialmente temos que descobrir quanto é essa taxa de entrada e quanto é essa taxa de saída, beleza? Show!

Passo 2

O enunciado nos diz que o ar é bombeado a uma taxa de 2000 . c m 3 m i n u t o . Como queremos a porcentagem de dióxido de carbono, temos que:

R 1 = 2000.0,06 %

R 1 = 1,2

O enunciado também nos diz que o ar é mandado para fora à mesma taxa. Além disso, inicialmente há uma concentração de 0,2 %   de dióxido, então:

R 2 = A 4

Sendo assim, nossa expressão será:

d A d t = 1,2 - A 4

Então vamos resolver essa equação aí!

Passo 3

Reescrevendo nossa equação, teremos:

d A d t = 4,8 - A 4

Isolando as variáveis:

d A 4,8 - A = 1 4 d t

Integrando, teremos:

∫ d A 4,8 - A = 1 4 ∫ d t

O que nos dá como resultado:

- ln ⁡ 4,8 - A = 1 4 t + c

ln ⁡ 4,8 - A = - 1 4 t + k

4,8 - A = K e - 1 4 t

∴ A t = K e - 1 4 t + 4,8

Passo 4

Como inicialmente temos: A 0 = 800 0 c m 3 , então:

0,2 % . 8000 = 16

16 = K + 4,8

∴ K = 11,2

Então nossa expressão vira:

A t = 11,2 e - 1 4 t + 4,8

Para 10 minutos, temos:

A 10 = 11,2 e - 2,5 + 4,8

A 10 = 0,017 %

E a concentração estacionária ocorre quando t → ∞ , logo:

A → 0,06 %

E está aí nossa resolução, galera! 😉

Resposta

A t = 11,2 e - 1 4 t + 4,8

A 10 = 0,017 %

Para t → ∞ , temos que: A → 0,06 %

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