Enunciado

Um tanque está parcialmente cheio com 100 litros de fluido nos quais 10 g de sal são dissolvidos. Uma solução salina contendo 0,5 g de sal por litro é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 6 litros por minuto. A mistura é então drenada a uma taxa de 4 litros por minuto. Descubra quantos gramas de sal haverá no tanque após 30 minutos.

Passo 1

Então pessoal, para esse tipo de problema de misturas temos que a equação diferencial que descreve a situação é a seguinte:

d A d t = T a x a   d e   E n t r a d a   d e   S a l - T a x a   d e   S a í d a   d e   S a l

Ou melhor:

d A d t = R 1 - R 2

No qual A t é a quantidade de sal na mistura após uma quantidade de tempo t . Inicialmente temos que descobrir quanto é essa taxa de entrada e quanto é essa taxa de saída, beleza? Show!

Passo 2

A questão nos diz que 0,5 g de sal por litro é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 6 litros por minuto. Tendo isso em vista a nossa taxa de entrada de sal será:

R 1 = 6 L m i n u t o . 0,5 g L = 3 g m i n u t o

E a questão nos diz que a mistura A é drenada a uma taxa de 4 litros por minuto. Além disso, sabemos que o tanque já possui 100 litros de fluido inicialmente. Criando uma expressão para isso, teremos:

R 2 = 4 L m i n u t o . A 100 + 2 t

Da onde surgiu esse 2 t ? Entram 6 litros e saem 4 , então 2 litros é o que resta, certo? E como isso é um processo contínuo, então depende temos uma dependência no tempo, claro. Sendo assim, nossa expressão será:

d A d t = 3 - 4 A 100 + 2 t

Simplificando, teremos:

d A d t = 3 - 2 A 50 + t

d A d t + 2 50 + t A = 3

Então vamos resolver essa equação aí!

Passo 3

O formato dessa equação é:

d A d t + P . A = Q

No qual P e Q são funções APENAS de t . Esse tipo de equação tem uma solução geral padrão, que é:

A = e - ∫ P d t . ∫ e ∫ P d t . Q d t + c

Sendo assim, o que precisamos fazer é definir quem é P e quem é Q e depois resolver essas integrais. Então mãos a obra!

Da nossa expressão tiramos que:

P t = 2 50 + t

Q t = 3

Substituindo na integral, teremos:

A = e ∫ 2 50 + t d t . 3 ∫ e ∫ 2 50 + t d t d t + c

Resolvendo a integral do expoente:

∫ 2 50 + t d t = 2 ln ⁡ 50 + t

Esse resultado é verdade sempre que a variável tiver grau 1 no denominador, tudo bem galeris? Show! Substituindo na nossa solução:

A = e - 2 ln ⁡ 50 + t . 3 ∫ e 2 ln ⁡ 50 + t d t + c

Simplificando:

A = 50 + t - 2 . 3 ∫ 50 + t 2 d t + c

Passo 4

Agora temos que resolver essa última integral que apareceu aí:

∫ 50 + t 2 d t

Chamando u = 50 + t , teremos:

d u = d t

Substituindo:

∫ u 2 d u = u 3 3

Voltando para t :

∫ 50 + t 2 d t = 50 + t 3 3

Substituindo na solução:

A = 50 + t - 2 . 3 . 50 + t 3 3 + c

∴ A t = 50 + t + c 50 + t 2

A questão nos diz que inicialmente já haviam 10 g de sal na mistura, logo A 0 = 10 . Substituindo, teremos:

10 = 50 + 0 + c 50 + 0 2

- 40 = c 2500

∴ c = - 100.000

Então nossa expressão será:

A t = 50 + t - 100.000 50 + t 2

Passo 5

Agora que temos a expressão de ouro, temos que descobrir quantos gramas de sal haverá no tanque após 30 minutos. Fazendo A 30 , teremos:

A 30 = 50 + 30 - 100.000 50 + 30 2

A 30 = 80 - 100.000 80 2 = 80 - 100.000 6400

A 30 = 80 - 15,625

∴ A 30 = 64,375 g

E essa é a nossa resposta!

Resposta

A 30 = 64,375 g

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