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Se f t é contínua para t ≥ 0 , a Transformada de Laplace de f é a função F definida por

F s = ∫ 0 ∞ f t e - s t d t

e o domínio de F é conjunto de todos os números s para os quais a integral converge. Calcule a Transformada de Laplace das seguintes funções.

b) f t = e t

Passo 1

Sei que é estranho esse primeiro contato com uma transformada de Laplace, mas esqueça esse nome estranho e vamos apenas tentar calcular a integral imprópria!!!

Queremos achar

∫ 0 ∞ e t ⋅ e - s t d t

Mas antes, vamos calcular

∫ 0 y e ( 1 - s ) t d t = 1 1 - s e ( 1 - s ) t 0 y = 1 1 - s e 1 - s t - 1

Passo 2

Para que a integral convirja quando y → + ∞ , devemos ter 1 - s < 0 , de modo que e ( 1 - s ) y → 0 . Assim, a transformada é

F s = 1 s - 1 ,       s > 1

Resposta

F s = 1 s - 1 ,       s > 1

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