Enunciado

Suponha que f seja contínua para todos os valores de x . Prove que se

lim a → - ∞ ⁡ ∫ a c f x d x = L

E

lim b → + ∞ ⁡ ∫ b a f x d x = M

Então, sendo d um número real qualquer,

lim a → - ∞ ⁡ ∫ a d f x d x + lim b → + ∞ ⁡ ∫ d b f x d x = L + M

Sugestão:

∫ a d f x d x = ∫ a c f x d x + ∫ c d f x d x  

∫ d b f x d x = ∫ d c f x d x + ∫ c b f x d x  

Passo 1

Vamos começar pegando a sugestão que ele deu

∫ a d f x d x = ∫ a c f x d x + ∫ c d f x d x  

A integral no limite, sendo isolada nessa equação, vai ser:

∫ a c f x d x = ∫ a d f x d x - ∫ c d f x d x  

Colocando isso no primeiro limite, vamos ter:

lim a → - ∞ ⁡ ∫ a d f x d x - ∫ c d f x d x = L

Pelas propriedades de limite

lim a → - ∞ ⁡ ∫ a d f x d x - lim a → - ∞ ⁡ ∫ c d f x d x = L

Mas a integral de c até d não tem a variável a , então ela é uma constante nesse limite, o que faz com que:

lim a → - ∞ ⁡ ∫ a d f x d x - ∫ c d f x d x = L

Passo 2

Vamos para a outra

∫ b d f x d x = ∫ d c f x d x + ∫ c b f x d x  

A integral no limite, sendo isolada nessa equação, vai ser:

∫ c b f x d x = ∫ b d f x d x - ∫ d c f x d x  

Colocando isso no primeiro limite, vamos ter:

lim b → ∓ ∞ ⁡ ∫ b d f x d x - ∫ d c f x d x = M

Pelas propriedades de limite

lim b → + ∞ ⁡ ∫ b d f x d x - lim b → + ∞ ⁡ ∫ d c f x d x = M

Mas a integral de c até d não tem a variável b , então ela é uma constante nesse limite, o que faz com que:

lim b → + ∞ ⁡ ∫ b d f x d x - ∫ d c f x d x = M

Passo 3

Se somarmos as duas equações que achamos no final de cada passo anterior, vamos ter:

lim a → - ∞ ⁡ ∫ a d f x d x - ∫ c d f x d x + lim b → + ∞ ⁡ ∫ b d f x d x - ∫ d c f x d x = L + M

Pelas propriedades de integral, vamos ter que

∫ c d f x d x = - ∫ d c f x d x

Assim, nossa equação fica

lim a → - ∞ ⁡ ∫ a d f x d x - - ∫ d c f x d x + lim b → + ∞ ⁡ ∫ b d f x d x - ∫ d c f x d x = L + M

lim a → - ∞ ⁡ ∫ a d f x d x + ∫ d c f x d x + lim b → + ∞ ⁡ ∫ b d f x d x - ∫ d c f x d x = L + M

As duas integrais fora do limite vão se anular.

lim a → - ∞ ⁡ ∫ a d f x d x + lim b → + ∞ ⁡ ∫ b d f x d x = L + M

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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