Enunciado

  1. Se f é contínua, mostre que
  2. ∫ 0 π / 2 f ( cos ⁡ x ) d x = ∫ 0 π / 2 f ( sen ⁡ x ) d x

  3. Use a parte (a) para calcular ∫ 0 π / 2 c o s 2 x d x e ∫ 0 π / 2 sen 2 ⁡ x d x .

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! Na letra (a) temos que demonstrar que:

∫ 0 π / 2 f ( cos ⁡ x ) d x = ∫ 0 π / 2 f ( sen ⁡ x ) d x

Se a gente reparar, a função s e n   x e cos ⁡ x tem uma defasagem de π / 2 :

Essa curva de azul é cos ⁡ x   e a de vermelho é sin ⁡ x . Então podemos usar a substituição:

Então podemos dizer que:

cos ⁡ x = sin ⁡ x + π 2

Assim:

∫ 0 π / 2 f ( cos ⁡ x ) d x = ∫ 0 π / 2 f sin ⁡ x + π 2 d x

Passo 2

Vamos calcular a integral da direita para tentar chegar em:

∫ 0 π / 2 f ( sen ⁡ x ) d x

Assim provamos a igualdade do enunciado. Vamos a nossa integral:

∫ 0 π / 2 f sin ⁡ x + π 2 d x

Podemos fazer a substituição:

u = π 2 - x

. Calculando a sua derivada:

d u d x = - 1 → d u = - d x

Também precisamos alterar os limites de integração:

s u p e r i o r → u = π 2 - π 2 = 0

i n f e r i o r → u = π 2 - 0 = π 2

Substituindo:

∫ 0 π 2 f sin ⁡ x + π 2 d x = ∫ 0 π 2 - f sin ⁡ u d u

∫ 0 π 2 - f sin ⁡ u d u = ∫ π 2 0 f sin ⁡ u d u

Podemos dizer que:

∫ π 2 0 f sin ⁡ u d u = ∫ π 2 0 f sin ⁡ x d x

Então:

∫ 0 π / 2 f ( cos ⁡ x ) d x = ∫ 0 π / 2 f ( sen ⁡ x ) d x

Aweeee!!!

Passo 3

Agora a letra (b)! Devemos usar a parte (a) para calcular ∫ 0 π / 2 c o s 2 x d x e ∫ 0 π / 2 sen 2 ⁡ x d x .

Tomando f x = x ² , então :

∫ 0 π 2 cos ² ⁡ x d x = ∫ 0 π 2 sen ² ⁡ x d x

Agora:

∫ 0 π 2 cos 2 ⁡ x d x + ∫ 0 π 2 sen 2 ⁡ x d x = ∫ 0 π 2 ( cos 2 ⁡ x + sen 2 ⁡ x ) d x

Lembrando que:

cos 2 ⁡ x + sen 2 ⁡ x = 1

Então:

= ∫ 0 π 2 1 d x = x 0 π 2 = π 2

Logo:

∫ 0 π 2 cos ² ⁡ x d x = ∫ 0 π 2 sen ² ⁡ x d x = π 2

Prontinho!

Resposta

  1. Demonstração

∫ 0 π 2 cos ² ⁡ x d x = ∫ 0 π 2 sen ² ⁡ x d x = π 2

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