Enunciado

A equação

é uma generalização da equação de Laplace, algumas vezes denominada equação de Helmholtz.

Em coordenadas polares, a equação de Helmholtz fica

Se υ(r, θ) = R(r)Θ(θ), mostre que R e Θ satisfazem as equações diferenciais ordinárias

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para analisarmos as deformações verticais de uma barra em suas condições de contorno. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser analisar a equação dada.

v x x + v y y + k ² v = 0

v r r + 1 r v r + 1 r 2 v Θ Θ + k 2 v = 0

Para a função, temos que:

r 2 R ' ' + r R ' + k 2 r 2 - λ 2 R = 0

Θ ' ' + λ ²   Θ = 0

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!

r 2 R ' ' + r R ' + k 2 r 2 - λ 2 R = 0

Resposta

r 2 R ' ' + r R ' + k 2 r 2 - λ 2 R = 0

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