Lista de Exercícios Resolvidos de EDP’s gerais

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Aplique separação de variáveis na equação diferencial parcial com condições de contorno abaixo, e encontre as soluções diferenciais ordinárias (EDOs) envolvendo as variáveis x e t , com as respectivas condições de contorno. (Obs: não é necessário resolver as EDOs.)

u t t = u + u t x x para x , t ∈ 0 , L × ( 0 ,   ∞ )

u 0 , t = u L ,   t = 0

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( a ) Mostre que o método de separação de variáveis pode ser usado para substituir a equação

u x x + x y   u y y = 0

por um par de equações diferenciais ordinárias. Vale o princípio da superposição para essa equação (uma combinação linear qualquer de soluções também é solução)?

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Considere o seguinte problema de Dirichlet no quadrado 0,1 × 0,1 com condições de Neumann:

u t x , t = u x x x , t - 1 0 < x < 1 ,       t > 0 u 0 , t = 0 t ≥ 0 u 1 , t = 1 2 t ≥ 0 u x , 0 = x 2 2 + 2 sen ⁡ 3 π x cos ⁡ 3 π x 0 ≤ x ≤ 1   8 a 8 b 8 c 8 d

  1. Encontre a solução estacionária v x para o problema 8 a - 8 b - 8 c
  2. Seja w x , t = u x , t - v x . Descreva o problema de valores de contorno e de valor inicial que é satisfeito por w
  3. Determine o valor de u 1 2 , t para todo t > 0

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Considere a equação de ondas em um meio dispersivo

∂ 2 u ∂ t 2 + 4 u = ∂ 2 u ∂ x 2         ∀   0 < x < 1 ,   ∀   t > 0

  1. Achar todas as soluções não triviais que possam ser escritas na forma u x , t = X x T ( t ) e que satisfaçam u 0 , t = u 1 , t = 0 .
  2. Adicionando às condições de contorno do item (a) as condições iniciais u x , 0 = f ( x ) e ∂ u ∂ t x , 0 = 0 sendo f ( x ) uma função contínua em 0 ≤ x ≤ 1 , com derivada seccionalmente contínua em [ 0,1 ] e satisfazendo f 0 = f 1 = 0 , determinar a solução u ( x , t ) .

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Considere a equação de ondas em um meio dispersivo

∂ 2 u ∂ t 2 + 4 u = ∂ 2 u ∂ x 2         ∀   0 < x < 1 ,   ∀   t > 0

  1. Achar todas as soluções não triviais que possam ser escritas na forma u x , t = X x T ( t ) e que satisfaçam u 0 , t = u 1 , t = 0 .
  2. Adicionando às condições de contorno do item (a) as condições iniciais u x , 0 = f ( x ) e ∂ u ∂ t x , 0 = 0 sendo f ( x ) uma função contínua em 0 ≤ x ≤ 1 , com derivada seccionalmente contínua em [ 0,1 ] e satisfazendo f 0 = f 1 = 0 , determinar a solução u ( x , t ) .

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Aplique separação de variáveis na equação diferencial parcial com condições de contorno abaixo, e encontre as soluções diferenciais ordinárias (EDOs) envolvendo as variáveis x e t , com as respectivas condições de contorno. (Obs: não é necessário resolver as EDOs.)

u t t = u + u t x x para x , t ∈ 0 , L × ( 0 ,   ∞ )

u 0 , t = u L ,   t = 0

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Encontre a solução

u : 0 , π × 0 , π → R

Da equação diferencial com condições de contorno abaixo:

u x x + u y y = u u x , 0 = 0 ,     u x , π = x π - x ,     x ∈ [ 0 , π ] u 0 , y = 0 ,     u π , y = 0 ,     y ∈ [ 0 , π ]

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Determine a solução u ( x , t ) do problema:

u x x x , t = 4 u x , t + u t t x , t           x ∈ 0,1 , t ∈ 0 , ∞ , u 0 , t = u 1 , t = 0                                                                                           t ∈ 0 , ∞ , u x , 0 = x 1 - x                                                                                                   x ∈ 0,1 , u t x , 0 = 0           ��                                                                                                                 x ∈ 0,1 ,

∂ 2 u ∂ t 2 + 4 u = ∂ 2 u ∂ x 2         ∀   0 < x < 1 ,   ∀   t > 0

  1. Achar todas as soluções não triviais que possam ser escritas na forma u x , t = X x T ( t ) e que satisfaçam u 0 , t = u 1 , t = 0 .
  2. Adicionando às condições de contorno do item (a) as condições iniciais u x , 0 = f ( x ) e ∂ u ∂ t x , 0 = 0 sendo f ( x ) uma função contínua em 0 ≤ x ≤ 1 , com derivada seccionalmente contínua em [ 0,1 ] e satisfazendo f 0 = f 1 = 0 , determinar a solução u ( x , t ) .

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Descreva como você aplica o esquema de separação de variáveis no seguinte problema:

u x x + u x = t u t 0 < x < π ,       t > 0 u 0 , t = 0 t ≥ 0 u x π , t = u ( π , t ) t ≥ 0 u x , 0 = f ( x ) 0 ≤ x ≤ 1

Formule o problema de valores iniciais, sem resolver. Considere que a solução vem dada por X n ( x ) e λ n com n = 1,2 , …   A seguir formule a forma geral da solução geral.

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Encontra a solução u   :   [ 0 ,   10 ]   ×   [ 0 ,   10 ]   →   R do seguinte problema

u x x +   u y y   =   u   x ,   y ∈   0 ,   10 ×   0 ,   10 u x ,   0 =   0 , u ( x ,   10 )   =   0     x   ∈   [ 0 ,   10 ] u ( 0 ,   y )   =   f ( y ) ,   u ( 10 ,   y )   =   0   y   ∈   [ 0 ,   10 ]

onde f   :   [ 0 ,   10 ]   →   R é a função definida por

f ( y )   =   y   s e   0   ≤   y   <   5   10   -   y   s e   5   ≤   y   ≤   10

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Determine a solução do problema de valor inicial e de fronteira :

u t t x ,   t -   u x x x ,   t =   0 ,   0   < x < π ,   t > 0

  u 0 ,   t =   u π ,   t =   0 ,   t > 0 ,

  u x ,   0 =   s e n x ,   0 < x < π .

u t x ,   0 = 5 s e n 5 x ,   0   < x < π

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Considere o seguinte problema:

u y y + u x y   =   x u y   , ( x ,   y )   ∈   R   ×   R .  

a Ache todas as soluções não triviais dessa equação que possam ser escritas na forma

u ( x ,   y )   =   X ( x ) Y   ( y ) .

b Ache uma solução não trivial que satisfaz

u ( 0 ,   0 )   =   0   e   u x ( 0 ,   0 )   =   0 .

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Encontre a solução u do problema

u x x x , y + u y y x , y = u x , y ,     x , y ∈ 0,4 × - 2,2 , u x , - 2 = u x , 2 = g x ,     x ∈ 0,4 , u 0 , y = u 4 , y = 0 ,     y ∈ - 2,2 ,

Onde g x : 0,4 → R é a função definida por

g x =   0 ,     0 ≤ x < 1 4 ,     1 ≤ x < 3 0 ,     3 ≤ x ≤ 4

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Encontre todas as soluções u da forma u x , y = X x Y ( y ) do problema

u x + u y = 2 x + y u ,     x , y ∈ R × R

Dica:

∫ X ' x X x d x = ln ⁡ X x + C

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Seja o problema de valor inicial e de fronteira relativo à equação de onda com força externa:

u t t = u x x + cos ⁡ t sen ⁡ x ,     0 < x < π u 0 , t = u π , t = 0 ,     t ≥ 0 u x , 0 = sen ⁡ x ,     0 < x < π u t x , 0 = 0 ,     0 < x < π

( a ) -Tente uma solução do tipo

u x , t = ∑ n = 1 ∞ u n t sen ⁡ n x ,

Onde u n ( t ) são funções a determinar.

- Para t fixo, ache a expansão de Fourier em senos para h x , t = cos ⁡ t sen ⁡ x

- Substituindo na equação forçada de onda, obtenha, igualando as séries termo a termo, uma equação diferencial de 2 ª ordem não-homogênea para u n ( t ) .

( b ) Utilize a resposta da 2 ª   questão, e determine a solução do PVIF tomando:

f x = sen ⁡ x ,   g x = 0 ,   h x , t = cos ⁡ t sen ⁡ x

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Encontre todas as soluções da forma u x , y = X x Y y do problema: u x + u x y + u y = 0 ,     x , y ∈ R 2 .

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Determine a solução u x , t do problema: u t - u x x + u = 0 ,       x ∈ 0,2 ,     t ∈ 0 , ∞ u 0 , t = u 2 , t = 0 ,     t ∈ 0 , ∞ u x , 0 = f x ,     x ∈ 0,2

Em que:

f x = x ,     0 ≤ x < 1 2 - x ,     1 ≤ x ≤ 2

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Questão 4: Encontre todas as soluções u da forma u x ,   y = X x Y y do problema

x y u x y + x u x + y u y = 0 ,     x ,   y ∈ ] 0 , ∞ [ × ] 0 , ∞ [

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Questão 2: Encontre a solução do problema de valor de contorno

u x x + u y y + u = 0 ,     p a r a     x ,   y ∈ 0 ,   1 × 0 ,   3 ,

u 0 ,   y = 0                     u 1 , y = 0 ,                 u x , 0 = 0                     u x ,   3 = 3 - x ,

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Encontre todas as soluções u da forma u x , y = X x Y y do problema:

x 2 y 2 u x y = x 2 u x + y 2 u y ,   x > 0 ,   y > 0

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( a ) Mostre que o método de separação de variáveis pode ser usado para substituir a equação

u x x + x y   u y y = 0

por um par de equações diferenciais ordinárias. Vale o princípio da superposição para essa equação (uma combinação linear qualquer de soluções também é solução)?

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( a ) Mostre que uma função de variáveis separadas

u x , t = X x T ( t )

é uma solução da EDP

u t = u x x - 2 u x ,     0 < x < L ,     t > 0

( L > 0 ) se, e somente se, X e T são soluções das EDOs

X ' ' - 2 X ' = - λ X ,     T ' = - λ T

para uma constante arbitrária λ .

( b ) Supondo λ > 1 , obtenha a solução do PVIC

u t = u x x - 2 u x ,     0 < x < L ,       t > 0 u 0 , t = u L , t = 0 ,     t > 0 u x , 0 = f x ,     0 < x < L

pelo método de separação de variáveis, ou seja, usando o resultado do item a), determine funções

u n x , t = X n x T n ( t )

satisfazendo a EDP e a condição de contorno

u 0 , t = u L , t = 0

tal que

u x , t = ∑     c n u n x , t  

seja solução, com os coeficientes c n dados em termos da função f .

( c ) Calcule a série de Fourier em senos no intervalo ( 0 , π ) da função e - x , ou seja, calcule c n tal que

e - x = ∑ n ∞ c n   s e n   ( n x )

Para x ∈ ( 0 , π ) . Justifique porque esta igualdade vale para todo x ∈ ( 0 , π ) .

Dado: ∫ e - x   s e n   a x d x = - a 2 + 1 - 1 e - x s e n   a x + a cos ⁡ a x + c .

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Resolva o problema:

u x x = u t t + u ,                 x ∈ 0,2 π ,     t ∈ 0 , ∞ u 0 ,   t = 0 ,           u 2 π ,   t = 0 ,     t ∈ 0 , ∞ u x ,   0 = f x ,     x ∈ 0,2 π u t x , 0 = 0 ,     x ∈ 0,2 π

onde

f x = x ,     s e   0 ≤ x ≤ π 2 π - x ,     π < x ≤ 2 π

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Determine a solução u ( x , t ) do problema

u x x x , t - u t t x , t = u x ∈ 0 , π , t ∈ 0 , ∞ u 0 , t = u π , t = 0 t ∈ 0 , ∞ u x , 0 = f x x ∈ 0 , π u t x , 0 = 0 x ∈ 0 , π  

Onde

f x = { x   s e   0 ≤ x ≤ π 2 π - x   s e π 2 < x ≤ π

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