Enunciado

As coordenadas de uma partícula que se desloca no plano x y são funções deriváveis do tempo t , com d x d t = 10   m / s e d y d t = 5   m / s . A que velocidade a partícula se afasta da origem ao passar pelo ponto 3 , - 4 ?

Passo 1

Vamos começar achando a expressão que relaciona a distância para a origem e as distâncias ao longo dos eixos. Isso porque a velocidade para a origem vai ser a derivada dessa distância.

Usando Pitágoras:

D 2 = x 2 + y 2

O temos que fazer é derivar implicitamente a equação da distância. A derivada implícita vai ser aquela que quando derivarmos algo que não seja t , devemo colocar a derivada junto. Por que d , x , y , a princípio, são funções do tempo.

A derivada do lado esquerdo vai ficar:

D 2 ' = 2 D D '

Passo 2

Vamos derivar o lado direito então:

x 2 + y 2 ' = x 2 ' + y 2 ' = 2 x x ' + 2 y y '

Vamos ter no final:

2 D D ' = 2 x x ' + 2 y y '

Dividindo por 2

D D ' = x x ' + y y '

Ele está usando uma nomenclatura diferente, vamos escrever dessa forma. Para isso, vamos ver que:

D ' = d D d t

x ' = d x d t

y ' = d y d t

Nossa equação fica:

D d D d t = x d x d t + y d y d t

Passo 3

Agora que temos a relação entre as taxas, vamos substituir os valores que ele deu:

d x d t = 10   m / s

d y d t = 5   m / s

A posição dele é 3 , - 4 , ou seja:

x = 3

y = - 4

Encontraremos:

D d D d t = 3 10 + - 4 5

D d D d t = 30 - 20

D d D d t = 10

Pera mas e aquele D ? Par achar o D podemos usar a equação inicial da distância

D 2 = x 2 + y 2

D 2 = 3 2 + - 4 2

D 2 = 9 + 16

D 2 = 25

D = 5

Vamos pegar so o positivo porque a distância é algo positivo.

5 d D d t = 10

d D d t = 2   m / s

Resposta

d D d t = 2   m / s

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