Enunciado

Um corpo move-se ao longo de uma reta e em t s sua velocidade é v m/s, onde v = e 3 - e 2 t . Ache a distância percorrida pela partícula enquanto v > 0 após t = 0 .

Passo 1

Primeiro vamos encontrar o intervalo pelo qual nosso corpo vai se mover. Sabemos que ele parte de t = 0 e termina quando v chega a 0 .

Se fizermos a segunda derivada da nossa curva descobriremos que ela é decrescente pois v " = - 4 e 2 t < 0 .

Então basta encontrar o momento que a velocidade chega a 0 para descobrir o fim do nosso intervalo:

0 = e 3 - e 2 t ∴ e 3 = e 2 t

2 t = 3 ∴ t = 3 2

Logo, nosso intervalo é 0 , 3 2 .

Passo 2

Esse exercício nos pede a distância percorrida, devemos lembrar que a distância é encontrada integrando a função velocidade, logo, no nosso intervalo teremos:

∫ 0 3 2 e 3 - e 2 t d t = e 3 t - e 2 t 2 0 3 2

= e 3 ⋅ 3 2 - e 3 2 - 0 - 1 2 = e 3 + 1 2

Resposta

e 3 + 1 2

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