10. y = -2 \* cos(x/2); n = 5

Passo 1

Primeiro, a ordem de uma derivada é o número de vezes que uma equação será derivada.

Passo 2

Temos uma derivada do produto com função composta.

Derivada do produto

y = u ∙ v ⟹ y ' = u ' v + u v '

Regra da cadeia, que é a derivada da de fora aplicada na de detro vezes a derivada da de dentro.

y ' = f ' g x ∙ g ' x

Passo 3

Para

y = - 2 cos ⁡ x 2

Analisamos como uma derivada da multiplicação contendo uma regra da cadeia

Passo 4

Realizando a primeira derivada

y ' = u ' v + u v '

Temos

u = - 2 e v = cos ⁡ x 2

Para u

u = 2

u ' = 0

Para v ' , utilizaremos a regra da cadeia

v = cos ⁡ x 2

v ' = - sen ⁡ x 2 ∙ 1 2

Passo 5

Agora vamos aplicar na fórmula y ' da multiplicação

y ' = 0 ∙ cos ⁡ x 2 + - 2 - sen ⁡ x 2 ∙ 1 2

Realizando as multiplicações

y ' = 2 sen ⁡ x 2 ∙ 1 2

y ' = sen ⁡ x 2

Passo 6

Realizando a segunda derivada da regra da cadeia

y ' = f ' g x ∙ g ' x

Temos

f = sen ⁡ x 2 e g = x 2

Para u

u = sen ⁡ x 2

u ' = cos ⁡ x 2

Para v ' , utilizaremos a derivada do produto

g = a b

g ' = a ' b - a b ' b 2

Temos que a = x e b = 2

Vamos fazer por partes

Primeiro vamos calcular a '

a = x

a ' = 1

Segundo v '

b = 2

b ' = 0

Terceiro v 2

b = 2

b 2 = 4

Aplicando em g '

g ' = 1 ∙ 2 - 1 ∙ 0 4

g ' = 2 4 = 1 2

Passo 7

Agora vamos aplicar na fórmula y ' da multiplicação

y ( 2 ) = cos ⁡ x 2 ∙ 1 2

Passo 8

Realizando a terceira derivada

y ' = u ' v + u v '

Temos

u = cos ⁡ x 2 e v = 1 2

Para u ' , tilizaremos a regra da cadeia

u = cos ⁡ x 2

u ' = - sen ⁡ x 2 ∙ 1 2

Para v ' , utilizaremos a regra da cadeia

v = 1 2

v ' = 0

Passo 9

Agora vamos aplicar na fórmula y ' da multiplicação

y ( 3 ) = - sen ⁡ x 2 ∙ 1 2 ∙ 1 2 + cos ⁡ x 2 ∙ 0

y ( 3 ) = - sen ⁡ x 2 ∙ 1 4

Passo 10

Realizando a quarta derivada

y ' = u ' v + u v '

Temos

u = - sen ⁡ x 2 e v = 1 4

Para u ' , tilizaremos a regra da cadeia

u = - sen ⁡ x 2

u ' = - co s ⁡ x 2 ∙ 1 2

Para v ' , utilizaremos a regra da cadeia

v = 1 4

v ' = 0

Passo 11

Agora vamos aplicar na fórmula y ' da multiplicação

y ( 4 ) = - cos ⁡ x 2 ∙ 1 2 ∙ 1 4 + - s en ⁡ x 2 ∙ 0

y ( 4 ) = - cos ⁡ x 2 ∙ 1 8

Passo 12

Realizando a quinta derivada

y ' = u ' v + u v '

Temos

u = - co s ⁡ x 2 e v = 1 8

Para u ' , tilizaremos a regra da cadeia

u = - co s ⁡ x 2

u ' = s en ⁡ x 2 ∙ 1 2

Para v ' , utilizaremos a regra da cadeia

v = 1 8

v ' = 0

Passo 13

Agora vamos aplicar na fórmula y ' da multiplicação

y ( 5 ) = sen ⁡ x 2 ∙ 1 2 ∙ 1 8 + - cos ⁡ x 2 ∙ 0

y ( 5 ) = sen ⁡ x 2 ∙ 1 16

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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