9. y = sen(ax); n = 7

Passo 1

Primeiro, a ordem de uma derivada é o número de vezes que uma equação será derivada.

Passo 2

Se reescrevermos a derivada com a raiz na forma de expoente, podemos aplicar a regra da cadeia.

y = f g x

É feita a derivada da de fora aplicada na de detro vezes a derivada da de dentro.

y ' = f ' g x ∙ g ' x

E lembrando que a derivada de uma constante é zero.

Passo 3

Realizando a primeira derivada, temos

y = sen ⁡ a x  

y ' = cos ⁡ a x ∙ a

Reorganizando temos

y ' = a cos ⁡ a x

Passo 4

Agora a segunda derivada, onde usaremos também a derivada do produto para y ' = a cos ⁡ a x

y = u ∙ v ⟹ y ' = u ' v + u v '

Onde u = a e v = cos ⁡ a x

Para u

u = a

u ' = 0

Para v , usamos a regra da cadeia

v = cos ⁡ a x

v ' = - sen ⁡ a x ∙ a

Aplicando na fórmula da derivada do produto, temos

y ( 2 ) = 0 ∙ cos ⁡ a x + a ∙ - sen ⁡ a x ∙ a

Realizando as multiplicações

y ( 2 ) = 0 - a sen ⁡ a x ∙ a

y ( 2 ) = - a 2 sen ⁡ a x

Passo 5

Agora a quinta derivada, onde usaremos também a derivada do produto para y ( 2 ) = - a 2 sen ⁡ a x

Onde u = - a 2 e v = sen ⁡ a x

Para u

u = - a 2

u ' = 0

Para v , usamos a regra da cadeia

v = s en ⁡ a x

v ' = cos ⁡ a x ∙ a

Aplicando na fórmula da derivada do produto, temos

y ( 3 ) = 0 ∙ s en ⁡ a x + - a 2 ∙ cos ⁡ a x ∙ a

Realizando as multiplicações

y ( 3 ) = 0 - a 2 co s ⁡ a x ∙ a

y ( 3 ) = - a 3 cos ⁡ a x

Passo 6

Agora a quinta derivada, onde usaremos também a derivada do produto para y ( 3 ) = - a 3 cos ⁡ a x

Onde u = - a 3 e v = cos ⁡ a x

Para u

u = - a 3

u ' = 0

Para v , usamos a regra da cadeia

v = cos ⁡ a x

v ' = - sen ⁡ a x ∙ a

Aplicando na fórmula da derivada do produto, temos

y ( 4 ) = 0 ∙ cos ⁡ a x + - a 3 ∙ - sen ⁡ a x ∙ a

Realizando as multiplicações

y ( 4 ) = 0 + a 3 s en ⁡ a x ∙ a

y ( 4 ) = a 4 sen ⁡ a x

Passo 7

Agora a quinta derivada, onde usaremos também a derivada do produto para y ( 4 ) = a 4 s en ⁡ a x

Onde u = a 4 e v = sen ⁡ a x

Para u

u = - a 4

u ' = 0

Para v , usamos a regra da cadeia

v = sen ⁡ a x

v ' = cos ⁡ a x ∙ a

Aplicando na fórmula da derivada do produto, temos

y ( 5 ) = 0 ∙ sen ⁡ a x + a 4 ∙ cos ⁡ a x ∙ a

Realizando as multiplicações

y ( 5 ) = 0 + a 4 cos ⁡ a x ∙ a

y ( 5 ) = a 5 cos ⁡ a x

Passo 8

Agora a sexta derivada, onde usaremos também a derivada do produto para y ( 5 ) = a 5 cos ⁡ a x

Onde u = a 5 e v = cos ⁡ a x

Para u

u = a 5

u ' = 0

Para v , usamos a regra da cadeia

v = cos ⁡ a x

v ' = - sen ⁡ a x ∙ a

Aplicando na fórmula da derivada do produto, temos

y ( 6 ) = 0 ∙ co s ⁡ a x + a 5 ∙ - s en ⁡ a x ∙ a

Realizando as multiplicações

y ( 6 ) = 0 - a 5 sen ⁡ a x ∙ a

y ( 6 ) = - a 6 sen ⁡ a x

Passo 9

Agora a sétima derivada, onde usaremos também a derivada do produto para y ( 6 ) = - a 6 sen ⁡ a x

Onde u = - a 6 e v = sen ⁡ a x

Para u

u = - a 6

u ' = 0

Para v , usamos a regra da cadeia

v = sen ⁡ a x

v ' = cos ⁡ a x ∙ a

Aplicando na fórmula da derivada do produto, temos

y ( 6 ) = 0 ∙ sen ⁡ a x + - a 6 ∙ cos ⁡ a x ∙ a

Realizando as multiplicações

y ( 6 ) = 0 - a 6 cos ⁡ a x ∙ a

y ( 6 ) = - a 7 cos ⁡ a x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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