Enunciado

Se vec r (t) = vec a cos omega t + vec b sin omega t , onde vec a e vec b são vetores constantes, mostre que vec r (t) xx vec r^' ( t ) = omega vec a xx vec b .

Passo 1

Nosso objetivo aqui é calcular o produto vetorial vec r (t) xx vec r^' ( t ) mas para isso precisamos saber quem é vec r^' ( t ) , desta forma vamos calcular a derivada de vec r (t) , como esta é uma função vetorial precisamos calcular a derivada de cada componete, que neste caso são hat a e hat b .

Derivada da componente hat a :

(d)/(d t) (cos omega t) = - omega sin omega t

Derivada da componente hat b :

(d)/(d t) (sin omega t) = omega cos omega t

Então vec r^' ( t ) é:

vec r^' (t) = - omega sin omega t hat a + omega cos omega t hat b

Passo 2

Calculando o produto vetorial:

vec r (t) xx vec r^' (t) = ( hat a cos omega t + hat b sin omega t ) xx ( - omega sin omega t hat a + omega cos omega t hat b )

= - omega cos omega t sin omega t hat a xx hat a + omega cos ² omega t hat a xx hat b - omega sin^2 omega t hat b xx hat a + omega sin omega t cos omega t hat b xx hat b

O produto vetoria entre dois versores paralelos, neste caso hat a xx hat a ou hat b xx hat b , é igual a zero, então:

vec r (t) xx vec r^' (t) = omega cos ² omega t hat a xx hat b - omega sin^2 omega t hat b xx hat a

Mas sabemos que - hat b xx hat a = hat a xx hat b , logo:

vec r (t) xx vec r^' (t) = omega cos ² omega t hat a xx hat b + omega sin^2 omega t hat a xx hat b

vec r (t) xx vec r^' (t) = omega hat a xx hat b ( cos ² omega t + omega sin^2 omega t )

Usando a relação trigonométrica cos ² A + omega sin^2 A = 1 , obtemos:

vec r (t) xx vec r^' (t) = omega hat a xx hat b

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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