Enunciado

Crescimento populacional: A população de Silver Run, no ano de 1890, era 6250 habitantes. Suponha que a população tenha crescido a uma taxa de 2,75% ao ano.

  1. Estime os números de habitantes em 1915 e 1940.
  2. Quando, aproximadamente, a população alcançou os 50000 habitantes?

Passo 1

Esta é uma questão que trabalha com funções de crescimento. Precisamos determinar duas coisas: a população em determinados anos e quantos anos serão necessários para atingir uma determinada quantidade de habitantes. Sendo assim, para resolver ambos os quesitos, nós só necessitamos de uma coisa: descobrir qual modelo matemático se enquadra neste problema.

E como conseguiremos determinar este modelo? Existe algum modelo pronto? Vamos analisar o que acontece ano a ano calmamente e assim obteremos nosso modelo.

Passo 2

Seja X a quantidade de habitantes e q a taxa com que a população de uma cidade cresce ao ano. Então, após passar 1 ano, teremos a seguinte quantidade de habitantes:

H a b i t a n t e s   a p ó s   1   a n o = X ⋅ ( 1 + q )

Agora, ao passarmos mais 1 ano, esta nova população crescerá novamente a uma taxa q . Logo, teremos:

H a b i t a n t e s   a p ó s   2   a n o s = X ⋅ 1 + q ⋅ ( 1 + q )

H a b i t a n t e s   a p ó s   2   a n o s = X ⋅ 1 + q 2

Se continuarmos a sequência, perceberemos que a equação que rege o nosso problema é:

H a b i t a n t e s   a p ó s   n   a n o s = X ⋅ 1 + q n

Passo 3

Após obtermos o modelo que rege o nosso problema, vamos começar resolvendo a letra a ) . Portanto, queremos determinar o número de habitantes em 1915 ( n = 1915 - 1890 = 25 ) e em 1940 ( n = 1940 - 1890 = 50 ) . Sendo assim, temos:

H a b i t a n t e s   e m   1915 = 6250 ⋅ 1.0275 25 = 12315

H a b i t a n t e s   e m   1940 = 6250 ⋅ 1.0 2 75 50 = 24265

Desta forma, é estimado que em 1915 haja 12315 habitantes e em 1940 seja 24265 habitantes.

Passo 4

Agora, resolveremos a letra b ) . Nesta pergunta, nós já sabemos qual a quantidade estimada de habitantes. A grande questão é: quantos anos serão necessários para atingir esta quantidade? Isto é, qual o valor de n ? Substituindo na equação, temos:

50 000 = 6250 ⋅ 1.0 2 75 n

1.0 2 75 n = 8

Utilizando uma calculadora para ajudar nos cálculos, obtemos que:

n = 76.65   a n o s

Após descobrirmos o valor de n , chegamos na solução da questão? Não! A pergunta pede em que ano isto deve ocorrer, não quantos anos ( Δ t = n ) precisa passar para que isto aconteça. Sendo assim, basta somar o valor de n com 1890 . Sendo assim, temos:

A n o = 76.65 + 1890 = 1966.65

Resposta

  1. Em 1915 devemos ter 12315 habitantes e em 1940 teremos 24265 habitantes.
  2. Em 1966.65 devemos ter 50000 habitantes.
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