Enunciado

Uma cultura de bactérias começa com 500 bactérias e cresce a uma taxa proporcional a seu tamanho. Depois de três horaz existem 8000 bactérias.

a) Encontre uma expressão para o número de bactérias depois de t horas.

b) Calcule o número de bactérias depois de quatro horas.

c) Estipule a taxa de crescimento depois de quatro horas.

d) Quando essa população alcançará 30000 ?

Passo 1

O problema fala sobre o crescimento exponencial de uma população de bactérias, que é dado pela função

P t = P 0   e k t

Neste caso, temos que P 0 = 500 e P 3 = 8000 . Assim, para encontrar k :

8000 = 500   e 3 k ⇒ e 3 k = 80 5 = 16

Aplicando o log na equação:

3 k = ln ⁡ 16 ⇒ k = ln ⁡ 16 3 ≈ 0,924

Portanto,

P t = 500   e 0,924   t

Passo 2

Para t = 4 , temos que

0,924   t = 0,924 ⋅ 4 = 3,697

Assim,

P 4 = 500 ⋅ e 3,697

Logo,

P 4 ≈ 20163

Para achar a taxa de crescimento, basta tomar a derivada:

d P d t = 0,924 ⋅ 500   e 0,924   t = 0,924   P

Assim,

d P d t 4 = 0,924 ⋅ P 4 ≈ 0,924 ⋅ 20163

Portanto,

d P d t 4 ≈ 18631

Passo 3

Por fim, queremos saber quando a população atingirá 3 0000 bactérias. Portanto, queremo saber t quando P t = 3 0000 :

3 0000 = 500   e 0,924   t ⇒ e 0,924   t = 30000 500 = 60

Tomando o log:

0,924   t = ln ⁡ 60 ⇒ t = ln ⁡ 60 0,924

Logo,

t = 4,43   h

Resposta

P t = 500   e 0,924   t

P 4 ≈ 20163

d P d t 4 ≈ 18631

t = 4,43   h

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