Enunciado

(a) Ache as inequações que descrevem uma bola oca com diâmetro de 30 cm e espessura de 0,5 cm. Explique como você posicionou o sistema de coordenadas que escolheu.

(b) Suponha que a bola seja cortada pela metade. Escreva as inequações que descrevem uma das metades.

Passo 1

a) Para escrevermos as inequações que descrevem a bola oca, vamos considerar que o nosso sistema de coordenadas é esférico.

A posição que vamos escolher para o sistema não importa muito devido a simetria que um corpo esférico tem. Desta forma já podemos perceber que a bola oca crescerá de forma igual em todas as direções.

Como o diâmetro da bola oca é 30 cm o raio externo é 15 cm. Já a borda tem uma espessura de 0,5 cm, então o raio interno é 14,5 cm.

Assim teremos duas esferas, uma de raio 15 cm e a outra de raio 14,5 cm, como teremos esferas isso indica que θ está variando de 0 a 2 π e φ está variando de 0 a π .

Portanto as inequações são:

14,5 ≤ ρ ≤ 15

0 ≤ θ ≤ 2 π

0 ≤ φ ≤ π

Passo 2

b) Se a bola for cortada pela metade vamos supor que só sobrou a parte de cima da esfera, desta forma temos que o raio das esferas será o mesmo, o ângulo θ continuará com a mesma variação. Então a única mudança que teremos é em φ que agora estará variando de 0 a π / 2 .

Portanto as inequações são:

14,5 ≤ ρ ≤ 15

0 ≤ θ ≤ 2 π

0 ≤ φ ≤ π 2

Resposta

a) 14,5 ≤ ρ ≤ 15

0 ≤ θ ≤ 2 π

0 ≤ φ ≤ π

b) 14,5 ≤ ρ ≤ 15

0 ≤ θ ≤ 2 π

0 ≤ φ ≤ π 2

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