Enunciado

Uma cultura de bactérias começa com 500 indíviduos e dobra de tamanho a cada meia hora.

a) Quantas bactérias existem após 3 horas?

b) Quantas bactérias existem após t horas?

c) Quantas bactérias existem após 40 minutos?

d) Trace o gráfico da função população e estime o tempo para a população atingir 100000 bactérias.

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... a questão nos diz que uma cultura de bactérias começa com 500 indíviduos e dobra de tamanho a cada meia hora.

A partir disso, a questão quer que calculemos o tamanho da população de bactérias após 3 ,   t e 2 3 horas (esse último equivale a 40 minutos).

Para isso, temos que relembrar um pouquinho das funções exponenciais.

Além disso, a questão também pede para traçarmos um gráfico da função população e estimar o tempo para a população atingir 100000 bactérias.

Para isso, a gente vai descobrir uma função exponencial e traçar esse gráfico.

E aí? Bora lá?? 😉

Passo 2

Bom... Esse é um problema típico sobre crescimento populacional exponencial.

A cada meia hora a população de bactérias dobra.

Assim, em 3 horas, ela vai ter dobrado seis vezes:

500 → 1000 → 2000 → 4000 → 8000 → 16000 → 32000

Portanto, após 3 horas, o tamanho da população será de 32000 bactérias.

Passo 3

Sabemos que a cada meia hora a população dobra de tamanho.

Assim, a população será dada por

y = 500 ⋅ 2 n ,

onde n é o número de períodos de meia hora. Assim, temos que

t = n 2 ⇒ n = 2 t

Portanto,

y = 500 ⋅ 2 2 t

Passo 4

Para 40 minutos, temos 2 3 de hora.

Assim, basta fazer t = 2 3 e aplicar na fórmula:

y = 500 ⋅ 2 4 / 3 ≈ 1260

Passo 5

A seguir plotamos a função y = 500 ⋅ 2 2 t e a reta y = 100000 :

Vemos que a exponencial ultrapassa a reta aproximadamente em t ≈ 4 .

Assim, após aproximadamente 4 horas a população de bactérias será superior a 100000 .

Resposta

32000

y = 500 ⋅ 2 2 t

1260

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