Enunciado

Uma cultura de bactérias cresce a uma taxa de crescimento relativa constante. A contagem de bactérias foi de 400 após 2 horas e 25 600 após 6 horas. (a) Qual é a taxa de crescimento relativa? Expresse sua resposta como uma porcentagem. (b) Qual foi o tamanho inicial da cultura? (c) Encontre uma expressão para o número de bactérias depois de t horas. (d) Encontre o número de células após 4,5 horas. (e) Encontre a taxa de crescimento depois de 4,5 horas. (f) Quando a população atingirá 50 000?

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom... a questão nos diz que uma cultura de bactérias cresce a uma taxa de crescimento relativa constante.

E que contagem de bactérias foi de 400 após 2 horas e 25600 após 6 horas.

A partir dessas informações a questão quer a taxa de crescimento dessa cultura de bactérias (e outras questõeszinhas com isso).

Bom... A taxa de crescimento relativo da cultura de bactérias é dado pela taxa de crescimento dividida pelo tamanho da cultura de bactérias, ou seja:

1 P ∙ d P d t = k

Onde P é o tamanho da cultura de bactérias e k é uma constante.

Passo 2

A única solução para essa equação diferencial é da forma:

P t = P 0 ∙ e k t   ( 1 )

Pelos dados do enunciados temos as seguintes equações para t = 2 h e t = 6 h :

P 2 = 400 =   P 0 ∙ e 2 k       ( 2 )

P 6 = 25600 = P 0 ∙ e 6 k   ( 3 )

Passo 3

a) Dividindo (2) por (3) podemos obter o valor da taxa de crescimento relativa.

400 25600 = P ( 0 ) ∙ e 2 k P 0 ∙ e 6 k ∴

400 25600 = e 2 k e 6 k = e - 4 k ∴

e 4 k = 25600 400 = 64

Aplicando logaritimo dos dois lados para tirar o termo k da exponencial:

ln ⁡ e 4 k = ln ⁡ 64 ∴

4 k = ln ⁡ 64 ∴

k = l n ⁡ ( 64 ) 4 = 1,04

Como k é a taxa de crescimento relativo da cultura por hora então em porcentagem a taxa de crescimento é de 104 % por hora.

Passo 4

b) O tamanho incial da cultura é P ( 0 ) e a taxa de crescimento relativo é k = 1,04 , podemos escolher (2) ou (3) para encontrar o valor inicial da cultura de bactérias.

Escolhendo (2):

400 =   P 0 ∙ e 2 k ∴

P 0 = 400 e 2 ∙ 1,04 = 49,972 ≅ 50   b a c t é r i a s

Passo 5

c) A expressão (1) já está escrita na forma geral (depois de t horas), faltando apenas os valores de P ( 0 ) e k .

Substituindo esses valores:

P t = 50 ∙ e 1,04 t

Passo 6

d) Calculando P ( t ) , para t = 4,5   h :

P 4,5 = 50 ∙ e 1,04   ∙   4,5 ≅ 5382   b a c t é r i a s

Passo 7

e) A taxa de cresimento é a derivada do crescimento da população em função do tempo:

P ' t = 50 ∙ 1,04   e 1,04 ∙ t = 52 e 1,04 ∙ t

Então a taxa de variação em t = 4,5   h é:

P ' 4,5 = 52 e 1,04   ∙   4,5 = 5596   b a c t é r i a s / h

Passo 8

f) Sendo P t = 50000   b a c t é r i a s então:

50000 = 50 ∙ e 1,04 t ∴

50000 50 = 1000 = e 1,04 t ∴

Aplicando logaritimo em ambos os lados da equação:

ln ⁡ 1000 = ln ⁡ e 1,04 t ∴

ln ⁡ 1000 = 1,04 t ∴

t = ln ⁡ 1000 1,04 = 6,64   h

Entendeu direitinho?? Responde aee😉

Resposta

a) k = 1,04

Porcentagem: 104%

b) P 0 = 50   b a c t é r i a s

c) P t = 50 ∙ e 1,04 t

d) P 4,5 = 5382   b a c t é r i a s

e) P ' 4,5 = 52 e 1,04   ∙   4,5 = 5596   b a c t é r i a s / h

f) t = 6,64   h

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