Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.8 - Ex. 4
Uma cultura de bactérias cresce a uma taxa de crescimento relativa constante. A contagem de bactérias foi de 400 após 2 horas e 25 600 após 6 horas. (a) Qual é a taxa de crescimento relativa? Expresse sua resposta como uma porcentagem. (b) Qual foi o tamanho inicial da cultura? (c) Encontre uma expressão para o número de bactérias depois de t horas. (d) Encontre o número de células após 4,5 horas. (e) Encontre a taxa de crescimento depois de 4,5 horas. (f) Quando a população atingirá 50 000?
Passo 1
Eaeee, belezinha?? Bom... a questão nos diz que uma cultura de bactérias cresce a uma taxa de crescimento relativa constante.
E que contagem de bactérias foi de após horas e após horas.
A partir dessas informações a questão quer a taxa de crescimento dessa cultura de bactérias (e outras questõeszinhas com isso).
Bom... A taxa de crescimento relativo da cultura de bactérias é dado pela taxa de crescimento dividida pelo tamanho da cultura de bactérias, ou seja:
Onde é o tamanho da cultura de bactérias e é uma constante.
Passo 2
A única solução para essa equação diferencial é da forma:
Pelos dados do enunciados temos as seguintes equações para e :
Passo 3
a) Dividindo (2) por (3) podemos obter o valor da taxa de crescimento relativa.
Aplicando logaritimo dos dois lados para tirar o termo da exponencial:
Como é a taxa de crescimento relativo da cultura por hora então em porcentagem a taxa de crescimento é de por hora.
Passo 4
b) O tamanho incial da cultura é e a taxa de crescimento relativo é , podemos escolher (2) ou (3) para encontrar o valor inicial da cultura de bactérias.
Escolhendo (2):
Passo 5
c) A expressão (1) já está escrita na forma geral (depois de t horas), faltando apenas os valores de e .
Substituindo esses valores:
Passo 6
d) Calculando , para :
Passo 7
e) A taxa de cresimento é a derivada do crescimento da população em função do tempo:
Então a taxa de variação em é:
Passo 8
f) Sendo então:
Aplicando logaritimo em ambos os lados da equação:
Entendeu direitinho?? Responde aee😉
Resposta
a)
Porcentagem: 104%
b)
c)
d)
e)
f)