Enunciado

Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento e esboce o gráfico (calcule para isto todos os limites necessários).

x = 2 - e - t

Passo 1

Primeiro vamos ter que achar x ' e analisar seu sinal, vamos então ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra do polinômio, da função constante e da função exponencial:

t n ' = n t n - 1

c ' = 0

e f t ' = e f t ⋅ f ( t ) '

Vamos então aplicar:

x ' = 2 - e - t ' = 0 - e - t - t ' = - e - t - t 1 - 1 = - e - t - t 0 = - e - t - 1 = e - t

Passo 2

Agora vamos analisar o sinal de x ' :

Temos x ' > 0 para todo t , assim:

x é estritamente crescente em t

Passo 3

Para esboçar o gráfico vamos calcular os limites de x para t → + ∞ e t → - ∞ :

lim t → + ∞ ⁡ 2 - e - t = 2

lim t → - ∞ ⁡ 2 - e - t = - ∞

Pronto, agora podemos esboçar o gráfico, ficando desse jeito:

Resposta

x é estritamente crescente em t

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