Enunciado

Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento e esboce o gráfico (calcule para isto todos os limites necessários).

g x = x e x

Passo 1

Oi, pessoal! Tudo bom? Nessa questão primeiro vamos ter que achar f ' x e depois analisar seu sinal.

Para isso vamos usar a regra do produto:

f x h x ' = f ' x h x + h ' x f x

Lembrando que,

x n ' = n x n - 1

e f x ' = e f x ⋅ f ( x ) '

Vamos então aplicar:

g ' x = x e x ' = x ' e x + e x ' x

g ' x = 1 ⋅ e x + e x ⋅ x

Ajeitando,

g ' x = e x 1 + x

Passo 2

Agora vamos analisar o sinal de g ' x , igualando a zero:

e x 1 + x = 0 → x = - 1

Assim:

Temos que g ' x > 0 em:

- 1 , + ∞

Ou seja, g é estritamente crescente em - 1 , + ∞

E em g ' x < 0 :

- ∞ , - 1

OU seja, g é estritamente decrescente em - ∞ , - 1

Passo 3

Para esboçar o gráfico vamos calcular os limites de g para x → + ∞ e x → - ∞ :

lim x → + ∞ ⁡ x e x = + ∞

lim x → - ∞ ⁡ x e x = 0

Pronto, agora podemos esboçar o gráfico, ficando desse jeito:

Resposta

g é estritamente crescente em - 1 , + ∞

g é estritamente decrescente em - ∞ , - 1

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